¿Cuando se celebra Santa Emma?

Tengo entendido que en el Santoral de la Iglesia Católica hay dos santas cuyo nombre es Emma: Santa Emma de Sajonia cuya celebración es el 19 de abril y Santa Emma de Gurk el 29 de junio.

También sé que muchas de las llamadas Emma celebran su onomástica el 1 de enero por “Emmanuel, nombre del Mesías”, ya que Emma es una abreviatura de Emmanuela.

A mediados de junio nacerá mi primera nieta y dado que sus padres han decidido llamarla "Emma", andan buscando el día de la onomástica de su hija y de mi nieta.

Dicen mi hijo y mi nuera que conocen a un par de matrimonios que tienen hijas llamadas Emma y que celebran el santo de sus hijas el día 2 de enero ya que según ellos, las llamadas Emma deben celebrar el 2 de enero que es el día de Santa Emma.

Como cuando me lo dijeron no estaban muy convencidos de que así fuera, me han pedido que investigue a ver cuál es la causa de que Santa Emma se celebre el 2 de enero en detrimento del 19 de abril o del 29 de junio, fechas ambas que sí tienen una Santa Emma en el santoral y no así el 2 de enero.

Por más que he buscado no he conseguido encontrar el motivo por el que santa Emma se celebra el 2 de enero. Por mis investigaciones he creído adivinar que Santa Emma de Gurk (29 de junio), también puede celebrarse el 2 de enero, pero la información que he recabado es un tanto ambigua en este sentido.

En fin, ¿me pueden ayudar a resolver mis dudas? Les estaría muy agradecido.