Efectivamente, la empresa DEBE darte tu copia de contrato. Como veo que has insistido y no te la dan se me ocurre que intentes conseguirla a través de lo siguiente:
Desde hace unos años todas las empresas tienen la obligación de registrar los contratos de trabajo en el SEPE, hay un link desde el que puedes entrar tu y ver tus contratos. Hace falta certificado digital o DNI electrónico. Te dejo el link.
https://sede.sepe.gob.es/contenidosSede/generico.do?pagina=proce_ciudadanos/datosContratos.html
Por si no tuvieras certificado digital o DNI electrónico, tambien puedes comprobar que estás dado de alta en seguridad social, a través de solicitar un informe de tu vida laboral, te dejo el link
https://sede.seg-social.gob.es/wps/portal/sede/sede/Ciudadanos/CiudadanoDetalle/!ut/p/z1/rVJNT8JAEP0rcODY7Ex3-3VcE8KHRYJYoXshy3arq7IFWlH89bYNBy9AjM5tJm_mvbx5RJAlEVYezJOsTGHlW92nwl9R9BlGgPEARn3gyeQ2ieiMDkZIFi0AzhQHIi7vPxJBhLLVtnomaakzvVKFrbQ1WVH2oBn0QJn3TGbSNhNj82K_0WXn2FF6X5ncKNlCXcDQZ821rTIZSTNch9KjgZMj9RwWKOWsg0A7kRcFue_KnOH6pP6MPIiuql80fFcutIBLBl0kcX0y1yVJa6HBDxDeMOA4ffDdYR9hysjiYPQHSWxtTv22-S99GMKJwZuGgGNwY_AnIfBoNk_iO6QDwD8yjK9ZWSfNvOx2gtdxaBLwWZHlP-Rhu0k2IT06r_fhpE9ZOj58xZx3u99eyxoI/dz/d5/L2dBISEvZ0FBIS9nQSEh/#Informe%20de%20vida%20laboral