Resolver integral enunciando claramente la técnica o propiedad usada.

:)

Hola! Ángela: ¿Conocés la técnica llamada Integración por partes?...

:)

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La técnica propuesta por Mario es la correcta.

∫ x^3 * e^x * dx. Hagamos sucesivamente Partes hasta que quede e^x sola dentro del signo integral:

u=x^3;  du=3x^2*dx;

v=e^x;  dv=e^x*dx;

x^3*e^x - 3∫x^2*e^x*dx;  nuevamente partes:

p=x^2;  dp=2x*dx;

q=e^x;  dq=e^x*dx;

x^3*e^x - 3 (x^2*e^x -2∫x*e^x*dx);  nuevamente:

s=x:  ds=dx

t=e^x;  dt=e^x*dx

x^3*e^x - 3 [x^2*e^x -2(x*e^x - ∫ e^x*dx)];  integro directamente:

x^3*e^x - 3 [x^2*e^x -2(x*e^x - e^x] + C;  reescribo:

x^3*e^x - 3 [x^2*e^x -2*e^x(x-1)]+ C;

x^3*e^x - 3*e^x [x^2 -2(x-1)]+ C;

e^x * {x^3 - 3*[x^2 -2(x-1)]}+ C;  o: 

e^x * (x^3 - 3x^2 -6x+6)+ C.

El método "Por Partes" sale de la derivada del producto de dos funciones:

y=u*v;  todas funciones de x:

ln y = ln u + ln v;  derivo en cadena:

(1/y)* y' = (1/u)*u' + (1/v)*v';  opero=

(1/uv) * y'  = (vu' + uv') / uv;  simplifico:

y ' = u'v + v'u;    Ahora llegamos al método "Por Partes", integrando ambos lados:

 ∫ y ' = ∫u'v  +  ∫v'u;  pero como la integral de la derivada es la primitiva:

y = ∫u'v  +  ∫v'u;  o:  uv = ∫u'v  +  ∫v'u;  llegando finalmente a:

∫u'v  = uv -  ∫v'u;  que es la fórmula de integración por este método.