¿Qué objetivo me compro para sacar el mayor partido a mi cámara ?

Como te ha dicho Robert Chispas, un 18-105 puede cubrir lo que pretendes, pese a que es muy difícil hace recomendaciones. Pero el problema de este objetivo, como el 18.55 de serie, es su falta de luminosidad. Yo lo tuve, y acabé vendiéndomelo y comprando un Nikon 17-55 mm 1:2.8 G que, en una cámara como la tuya, y gracias a su apertura 2.8, fija en todas sus distancias focales, es lo mejor que nunca he tenido en las manos. Eso sí, nuevo cuesta 1.600 euros. Se puede conseguir, usado, por 600.

De todos modos, cada cual piensa lo que piensa. Yo prefiero sacrificar un poco la falta de zoom a cambio de tener un objetivo suficientemente luminoso para todas las ocasiones. No olvides que en una cámara como la tuya, con el sensor APS-C que tiene, la distancia focal se multiplica por 1.5, lo que hace que los 55 mm pasan a ser un 82.5 mm, o sea un zoom razonable. Y, con el sensor de 24 megapixels, puedes darte el lujo de "recortar" después, y seguir teniendo fotos con gran definición.

Tampoco es bueno andar cambiando de objetivos. Lo acabas pagando con suciedad en el sensor.

La respuesta del señor Rober es muy completa y estoy bastante de acuerdo en su opinión. Lo que no te recomiendo para nada es un objetivo tamron. Si tu canara es nikon, lo mejor es que uses objetivos de la marca, los tamron me han decepcionado mucho. Si tu objetivo es 18-55 mm y tiene estabilizador y autoenfoque ya puedes obtener buenos disparos con tu cámara. Antes que comprar un nuevo objetivo te recomendaría que le saques el 100% de partido a tu cámara. Localiza el "punto dulce" de tu objetivo... Para esto deberás realizar disparos en modo manual o av para ver cual es la apertura en la que mejor disparo obtienes. Suelen estar en torno al 5. Compara las distintas fotografías y observa cual es el mejor punto de apertura, en el que más detalle y mejor resolución obtengas. Un flash de zapata con difusor es un buen accesorio para hacer fotos en interiores.

En el caso de paisajes, tendrías que usar una apertura más cerrada, en torno a 7,1, o incluso 8. Esto permitirá al objetivo obtener un enfoque más homogéneo. Hay otros factores a tener en cuenta en fotografía paisajista como la medición de luz, los reflejos, etc. Los mejores momentos para hacer fotos paisajisticas son la primera hora de la mañana y la ultima anocheciendo, ya que la luz es más homogénea y evitarás "quemados" y reflejos indeseados.

Tómatelo con calma y experimenta con tu cámara hasta conocerla. Y si te compras un objetivo, no te recomiendo un teleobjetivo de tanta distancia focal, para que sea bueno, cuesta más que una cámara nueva, uno mormalito que tenga unos 300 mm está bien para primeros planos de animales u objetos lejanos. Para interior con 200 mm te sobra pero ya te digo que con tu actual objetivo puedes hacer grandes fotos. No tengas miedo a acercarte a lo que quieras captar, solo ponte más cerca, enfoca y dispara. Por ultimo quiero recomendarte un libro de un gran fotógrafo, Michael Freeman, que me ayudó mucho cuando empezaba. No es un libro teórico, es un libro de interpretación de la fotografía, pero está muy bien. https://goo.gl/images/2CRCt7 

Te recomiendo visitar www.foto65.es, en el apartado "Objetivos", tienes una extensa gama de objetivos Tamron, Samyang y Sigma compatibles con tu cámara Nikon D5600

Es muy difícil hacer una recomendación sobre que es lo que te conviene, ya que las necesidades de cada uno son distintas, así como el tipo de fotografía que le gusta hacer.

Además hay que tener en cuenta, la economía, aspiraciones, etc.

Si es cierto que el 18-55 que viene "de serie" con las cámaras te cubre bien como gran angular y angular, pero no tienes un tele medio, muy adecuado para retratos y un teleobjetivo si te gusta capturar lo que esta lejos.

Para hacer retrato se recomienda un 100 mm (para full frame) o lo que sería lo mismo para tu D5600 en torno a un 70 mm.

Todo esto es muy relativo ya que hay quien hace retratos con un 50 mm.

Una vez que te pones a comprar un tele, lo que suelen hacer muchos es comprarse un 55-200, de tal manera que tienes desde 18 hasta 200 mm.

También he de decirte que a muchos entre los que me incluyo, nos fastidia mucho estar cambiando de objetivo para cada foto y hay quien opta por un "todoterreno" 18-200, con el cual te olvidas del cambio de objetivo.

Después de elegir la focal que quieres, te vas a volver loco buscando si quieres un Nikkor o te vas a Tamron, Sigma, etc. etc. Y luego a mirar y comparar precios.

Para mi tipo de fotografía un 18-105 va bien, ya que me abarca la mayoría de las situaciones y si quiero un tele, siempre tengo la posibilidad de reencuadrar en el ordenador. Pero insisto, esto sirve para mi (y no todos los días).

A medida que hagas fotografías, iras viendo por donde van tus preferencias y cuales son tus necesidades. Una buena opción es, si tienes posibilidad, que algún amigo te preste un objetivo y probarlo.

Ya siento no serte de mucha utilidad a la hora de decidirte. Lee un poco (no mucho, porque te volverás loco) en las web como esta por ejemplo:

https://www.dzoom.org.es/8-objetivos-para-tu-reflex-nikon-que-te-ayudaran-a-crecer-como-fotografo/ 

Todo lo que leo en las respuestas anteriores me parece más que apropiado. Tu objetivo es apropiado para paisaje en las focales cortas, y para el retrato en las largas. Añadiría que si quieres experimentar con el retrato deberías buscar un objetivo de focal larga fija (un «tele corto») que sea luminoso (abertura 2.8 o mayor es decir, hasta 1.8), no un zoom, y que para el paisaje te conformes con el que tienes. Se suelen considerar óptimas para retrato las focales de 85 a 135 mm (en «full format», es decir, 24 x 36); para APS C más o menos 60 a 100 mm. Yo buscaría en google -budget portrait lens nikon-, y me detendría en lo que cuentan aficionados y profesionales en páginas propias o colectivas que no vendan, es decir, procurando distinguir la propaganda comercial. A medida que vayas descartando puedes buscar de cada uno. En flickr y otros sitios semejantes puedes buscar fotos hechas con esos objetivos y sacar tus conclusiones. Mi equipo es Olympus, y de esa montura sí sabría hacerte recomendaciones concretas.

A ver, todo lo que te han dicho es cierto, pero yo voy a dar una opinión diferente.

Parece que tienes claro PARA QUE TIPO DE FOTOS quieres ese objetivo. Para retrato y paisajes. Además ten en cuenta que SIEMPRE las ópticas fijas dan mejores resultados que las de amplio rango. Siempre un 50mm dará mejores resultados que un 18-105 usando la distancia focal de 50mm. Sencillamente porque los fijos están especializados en esa distancia.

Para retratos y objetivos, yo miraría el que llaman El Rey de los objetivos. O bien el 50mm 1,4f, o el 35mm 1,4f. Son los más luminosos y son fijos, y realmente muy buenos. También son caros, como todo lo bueno. Por un poquito menos, tienes los dos pero con apertura de 1,8 en vez de 1,4. Sacrificas algo de luminosidad, pero ahorras un dinero.

En cuanto a marcas, para tu nikon desde luego te recomiendo nikkor, pero si te resultan muy caros, SIGMA tiene esos mismos objetivos con muy buena calidad también.