La internet esta plagada de tutoriales y cursos. Hay muy buenos cursos en Udemy, son de paga pero no son tan caros (definitivamente no se compara con los costos de una universidad)
No estoy muy seguro a que te refieres con diseñador web, yo prefiero llamarlo desarrollador web. Ya que ser un buen diseñador web, requerirá que sepas de programación, o tus páginas serán muy simples, cosas que podría hacer cualquiera con un tema de wordpress o en wix o alguna cosa de esas que son fáciles y no hace falta tanto estudio.
Ahora bien, si quieres ser un desarrollador web que se respete, debes dominar lo siguiente:
HTML (obvio)
CSS
Javascript
PHP
MySQL
Eso es lo básico, luego te vas a encontrar frameworks y mil cosas mas que avanzan cada día y aparecen nuevas versiones y esta tecnología nunca se detiene.
Las cosas extras que te veras obligado a aprender son cosas como por ejemplo:
Bootstrap
JQuery
Angular
Photoshop
Illustrator
InDesing
Algún conocimiento básico sobre edición de vídeos.
etc etc etc.
Debes conocer algo de fotografía, de colores, en fin, puede parecer sencillo pero una vez dentro de este mundo del diseño web te vas encontrando cosas nuevas cada día.
Y por supuesto, lo mas importante para ser un desarrollador web es tener siempre en cuenta la seguridad de tus sitios, que no sean vulnerables a ataques de hackers, y que la información sensitiva que manejes este segura. Mientras vas aprendiendo debes empaparte mucho con teorías sobre seguridad.