Radio de convergencia. Determine el radio de convergencia.
Por el criterio que acomode, ya sea por el criterio de la raíz o por el criterio del cociente, o cualquier metodología, determinar el radio de convergencia de la siguiente serie:
Puede ser también por DLembert, MacLaurin, etc.
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No soy muy experto en este tema, pero sacando la teoría de AQUI, se me ocurre plantear que:
$$\begin{align}&\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{2^{n+(-1)^n}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+(-1)^n}} \cdot x^n\\&\text{y planteamos entonces }a_n=\frac{1}{2^{n+(-1)^n}}\\&\text{Tenemos que:}\\&\frac{1}{r} = \lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n \to \infty} \frac{|2^{n+(-1)^n}|}{|2^{(n+1)+(-1)^{n+1}}|}=\\&=\lim_{n \to \infty} \frac{|2^{n} \cdot 2^{(-1)^n}|}{|2^{(n+1)} \cdot 2^{(-1)^{n+1}}|}=\\&=\lim_{n \to \infty} \frac{|2^{n}| \cdot |2^{(-1)^n}|}{|2^{(n+1)}| \cdot |2^{(-1)^{n+1}}|}=\\&=\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n} \cdot |2^{(-1)^n}|}{2^{(n+1)} \cdot |2^{(-1)^{n+1}}|}=\\&=\lim_{n \to \infty} \frac{ |2^{(-1)^n}|}{2 \cdot |2^{(-1)^{n+1}}|}= \frac{1}{2}\\&\therefore\\&r = 2\end{align}$$Salu2