Cualquiera que sepa un poco de informática, podría en tu propio ordenador, en tu casa exportar el certificado al pendrive que lo tengas tú. El sindicato NO tiene que incorporarlo a su ordenador, entre otras cosas porque es información confidencial y una autorización a entrar en sitios oficiales que ellos NO tendrían por que hacer. Si finalmente lo hacen, ya por obligación tendrían que borrar el fichero.
Todo ésto te lo comento porque me ha parecido entender que tienes instalado el certificado ¿o se trata de bajarlo para instalarlo?. Hay que hacerlo desde el mismo ordenador que se va a autilizar, aunque luego se exporte a otro.
Es que si lo tienes instalado ¿para qué lo necesita el sindicato?. Necesariamente tienes que entrar con tu ordenador para que con dicho certificado se valide la entrada a según que sitio oficial. Por ejemplo: hacer alguna operación en la www.agenciatributaria.es ¿te suena?.
También querría aclarar si te refieres a un certificado de la FNMT (Fábrica Nacional de Moneda y Timbre) o de otro tipo, pero generalmente, cualquier certificado instalado en el navegador, se puede exportar.