Fuerzas gravitatorias en elementos lineales
Mi duda versa sobre una aparente paradoja que se me produce al analizar la fuerza gravitatoria sobre elementos lineales lo suficientemente largos como para que se produzcan diferencias en las fuerzas generadas en diferentes puntos del elemento.
Un ejemplo para ilustrarlo sería el siguiente:
- Queremos analizar la tensión que experimenta en diferentes puntos una cuerda de densidad 10 kg/metro lineal, la cual uno de sus extremos está situado a 1 metro de distancia de una masa puntual. La masa puntual está en el mismo eje de dirección de la cuerda, es decir, conforme nos alejamos del extremo de la cuerda lo hacemos también de la masa en la misma cantidad.
Si tomamos un punto a 5 metros del extremo de la cuerda y calculamos la fuerza aplicada a la cuerda en ese punto, ésta será proporcional a los 50 kg de masa total de ese tramo de cuerda y al inverso de la distancia al cuadrado de los centros de gravedad, en este caso: F=-G*Mpuntual* 50/(2.5+1)^2= -4.08 G*Mpuntual N. Siendo G la constante de gravitación universal y Mpuntual la masa del elemento puntual.
Si ahora tomamos un punto a 10 metros y calculamos tendríamos lo siguiente:
F=-G*Mpuntual*100/(5+1)^2= -2.78 G*Mpuntual N.
Como vemos tenemos una aparente paradoja pues la fuerza, y por tanto la tensión, en el punto de la cuerda situado a 10 metros es menor que a 5 metros. Sin embargo, a los 10 metros debería estar soportando una fuerza superior, pues deberíamos tener la suma de la fuerza del primer tramo de 5 metros más la del segundo tramo.
Resumiendo, matemáticamente al alargar la cuerda la masa crece proporcionalmente, pero el cuadrado de la distancia de los centros de gravedad crece en mayor proporción y por tanto la fuerza disminuye. Sin embargo, cualitativamente no me parece un resultado lógico porque la nueva masa no debería disminuir la fuerza total si no aumentarla.
Puesto que confío plenamente en la coherencia de la Física, espero puedas ayudarme a entender donde se encuentra el error en mi razonamiento. Y espero también que mi explicación no haya sido demasiado liosa.
Después de seguir investigando he hallado la solución a la aparente contradicción.
El problema venía de la confusión de los conceptos centro de masas y centro de gravedad. En un campo gravitatorio uniforme, ambos conceptos son equivalentes. Pero en los casos en los que el campo gravitatorio varía sensiblemente dependiendo del punto del espacio, el centro de gravedad no coincide con el centro de masas.
De ahí que al hacer el cálculo empleando los centro de masas, como se suele hacer normalmente en la mayoría de problemas "mundanos", los resultados eran distintos tomando partes de la cuerda independientemente con sus respectivos centros de masas y después con el centro de masas del conjunto. Debería haber empleado centros de gravedad.
Aquí una explicación del concepto centro de gravedad: https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravedad
Muchas gracias por las respuestas y disculpas por no haberme sabido explicar correctamente.
1 respuesta más de otro experto
No te estamos contestando porque no es muy claro el enunciado. ¿Cuerda horizontal, vertical? ¿Masa puntual fija al extremo de la cuerda?
Si pudieses acompañar un dibujo( tipo croquis) para entenderte mejor, seria muy oportuno.
Muchas gracias por contestar.
Aquí adjunto esquema. La cuestión es que al querer calcular la tensión en los dos puntos de la cuerda, obtengo un valor superior en x1 respecto a x2, cuando en realidad en x2 debería soportar más, pues recibe la fuerza de x1 mas la del segundo tramo por encima de él.
El problema es similar a calcular la tensión en una cuerda que cuelga libremente bajo la fuerza de la gravedad, pero modificando las dimensiones para que la fuerza gravitatoria no sea uniforme como lo es en una situación habitual.
Espero que así se entienda mejor, y si no intentare aclarar lo que me digais.
Un saludo.
Pero me parece que estas mezclando conceptos. Hablas de fuerzas gravitatorias terrestres o de fuerzas de atraccion universal entre m1 y m2.?
Estas usando un sistema de coordenadeas unidimensional (x). Sean como fueren las fuerzas de atraccion se concentran sobre los respectivos centros de masa. Y tu cuerda tendrá un centro de masa = mitad de la longitud que consideres.
En el primer caso, para la atraccion universal te vale:
F1 = G (100 x 50) / ( 2.5 + 1) ^2 = 204 G
En el segundo caso ( corristes el punto x mas lejos) te valdria:
F2 = G ( 100 x 100) / ( 5 + 1)^2 = 139 G
Y es correcto porque al alejarse el centro de masa de la cuerda de la masa puntual= 100 Kg la fuerza de atraccion gravitatoria disminuye. Igualmente no interpreto como hablas de tensiones de la cuerda.. siendo.. G = 6.67 X 10^-11N m^2/ Kg^2 de pequeñisima magnitud.
¿No te estaras refiriendo a fuerzas de origen gravitatorio terrestre tipo F= masa x g?
Hablo de fuerzas de atracción gravitatorias entre los dos objetos.
Lo que quiero decir es que me parece contradictorio que en el caso de que la cuerda sólo midiera 5 metros, la fuerza de atracción con la masa puntual sea mayor que si midiera 10.
La fuerza de atracción que añade el segundo tramo de cuerda tiene en teoria la misma dirección y sentido que la del primero, por lo que deberian sumarse. Si hacemos el calculo de los dos tramos por separado y los sumamos, saldría una cifra distinta que si tomamos los dos en conjunto.
Espero haberme explicado. Muchas gracias de nuevo por contestar.
Si sumas los dos tramos por separado... las respectivas fuerzas de atracción como bien decís, se suman pero el centro de masa se te corrio más lejos de la masa puntual ... y la atracción total disminuye. Así trate de explicártelo más arriba. Consúltalo con tus maestros ...