Venta coche a concesionario cambio titularidad

La semana que viene me entregan un coche nuevo, como parte del pago entrego mi coche actual de mas de 15 años al concesionario, me lo han valorado en 800€. Me han dicho que se encargan de todo el papeleo. Tengo una duda. ¿Segun les entregue el coche viejo lo transfieren a nombre del concesionario o bien sigue a mi nombre hasta que lo compra alguien y lo transfieren al nombre del nuevo dueño en ese momento? ¿Se qué tendre contrato de venta en el momento de entregarlo pero no se si lo cambiaran en trafico en el momento o esperaran por ahorrarse lo que les cueste el cambio de nombre y aprovechar a hacerlo cuando lo vendan?