Mi gato tiene un ojo hinchado y rojo.

Si los gatos salen a la calle, generalmente se pelean con otro gato y suelen existir mordidas y rasguños, que normalmente se curan entre 2 o 3 días. Pero si la lesión es más grave, puede infectarse y por sí sola no se puede curar.

Te recomiendo que lleves a tu gato de inmediato con el veterinario.

No es malo que duerma, ya que el sueño es muy reparador. Y, claro, puede indicar que tiene afectado el estado general.

Mientras no ves otra cosa, yo te recomendaría darle 1 ó 2 dientes de ajo crudo al día (se lo bates en cualquier comida), por si tuviera algo de infección.