Estoy reformando el piso y quiero consejo sobre la suciedad de los azulejos del cuarto de baño

Lo que te ha ocurrido es muy común. Las juntas de azulejos y suelos están hechas con materiales cementosos y por lo tanto tienen bastante absorción (no como el azulejo, que por su esmalte es prácticamente impenetrable). En tu caso, yo te recomendaría que buscases un producto específico para limpiar juntas en cualquier almacen de materiales de tu ciudad. Pero que te aseguren que es específico para ello. (Yo en mi almacen de materiales tengo ese tipo de producto, y se llama "limpiador de juntas" como suena), porque otro tipo de limpiadores u otro tipo de producto, o daña la junta o no la limpia. En el caso de que con ésto no se quede igual porque el polvo de la obra ya esté muy incrustado, prueba con material tipo FILASPRINT 2000. (www.filachim.com) o con cualquier otra marca. Estos productos lo que hacen es reavivar el color natural en piedras naturales, prefabricados y otros materiales absorbentes, y como las juntas son cementosas y absorbentes, a veces ha funcionado.
Si con todo ello no consigues sacarle el color original, debes de vaciar de nuevo las juntas y volver a juntear con un buen tapajuntas negro, (es un trabajo un poco pesado pero es lo que hay como último recurso). Si optas por ésto último, cuidado con la herramienta que utilizas porque podrías dañar el esmalte de los azulejos en un descuido o si haces demasiada fuerza y te desvías de la junta.
Y recuerda, a la hora de volver a llenar las juntas, usa un tapajuntas de buena calidad. La mayoría de los que son "caros", llevan un aditivo impermeabilizante/plastificante (como el que llevan las pinturas plastificantes de ahora), que evitaría que te volviese a pasar lo de ahora.