No tienen contrato escrito, pero es evidente que hay un "acuerdo verbal" entre las partes (cosa fácilmente demostrable con los resguardos de pago).
Ante la Ley, un contrato verbal tiene la misma validez que uno escrito, pero si tienen que ir a juicio sería muy recomendable que reuniesen todos los documentos al respecto que pudiese haber (resguardos de pago, contratos de luz, agua, impuestos, etc).
Dado que esos resguardos de pago apuntan al año 1981, estamos ante un alquiler "de renta antigua", por lo que el inquilino puede permanecer en la vivienda hasta su fallecimiento.
Al fallecimiento del titular, el cónyuge superviviente tiene 90 días para notificar al casero el fallecimiento del titular y su decisión (cosa perfectamente legal) de "subrogarse" en el arrendamiento. El cónyuge puede quedarse en la vivienda hasta su fallecimiento.
Dicho todo esto, está claro que el nuevo propietario del piso (heredero), no puede hacer lo que pretende.
Los derechos de su suegra son: quedarse en la vivienda hasta su fallecimiento.
Los derechos del propietario son: cobrar la renta todos los meses, así como los gastos que genere el mantenimiento de la misma y los impuestos a que esté sujeta (esto es así por ser un alquiler de renta antigua). Aparte de esto, puede subir el IPC anualmente.
Por tanto, deben valorar el estado de la vivienda y los gastos que les pueden repercutir (derramas de comunidad, reparaciones, etc), para saber si es preferible tener un contrato nuevo (que ha de tener una duración mínima de 5 años por Ley), o si por el contrario les conviene mantener el actual "contrato verbal" hasta el fallecimiento de su suegra.
Suerte.