Problemas con enchufe

Quizás lo más adecuado sea en tu caso la opción sacar unos cables de ese enchufe pero sin quitarlo, es decir:
-Retira el enchufe de la pared.
-Coge un destornillador y araña la pared bien en una esquina o en cualquiera de los 4 lados del hueco que hay en la pared en el que tienes ese enchufe empotrado hasta que volviendo a colocar el enchufe en su sitio, veas que puede salir una "manguera de 3x1mm2", no cualquier cable sino "manguera". Entonces el empalme lo deberás realizar en el propio enchufe de la pared (por su parte interior, claro) y de ese modo tu empalme, una vez colocado el enchufe de la pared quedará "extra-seguro", que es de lo que se trata.
Al otro lado de ese cable colocaras, previamente a realizar el empalme, esa base múltiple para tu TV, video, etc.

Perdona, la entrada de la manguera la podría hacer bien arañando la pared como dices o bien haciéndole un hueco al lateral de la caja del enchufe, que tiene más o menos 1 cm, ¿no? Resumiendo, la maniobra sería, a una regleta de las que venden (aquí tengo una que lleva manguera de 351 creo que pone)quitarle el macho cortando el cable, empalmar a los cables de dentro y volver a colocar la caja del enchufe de manera que la manguera quede en el hueco que le he hecho. Si es así me lo dices, pero ahora van una preguntas.
¿Es necesario o conveniente desconectar los cables del enchufe hembra de las clavijas a las que están conectadas para empalmar con la manguera?
¿Lo refuerzo con estaño o cinta aislante o no es necesario?
¿Estos cables tienen toma tierra? ¿En caso de tener, que hago con ella?.
Gracias de nuevo.

Una última aclaración, y perdona por ser tan pesado. En lugar de hacer el empalme así como dices, he comprado una regleta de esas de empalmar y haré el empalme ahí (de esas que llevan 4 tornillos, con lo que el enchufe viejo quedará inútil, pero como no lo voy a usar no pasa nada. Imagino que estará bien esto, ¿no?. Y otra cosa es que en lugar de una regleta de enchufes he comprado una base con dos enchufes para ponerla en la pared detrás de la tele, así me evito tener la regleta encima del mueble. La cosa es que esta base, imagino que como la mayoría de regletas, no lleva tomatierra. ¿No pasa nada no?, solo voy a conectar tv, dvd y como mucho una lámpara de pie. Gracias

Creo que lo has entendido bien, aunque no entiendo eso de "1cm" (supongo que te referirás al diámetro de la manguera...).
La cosa es no inutilizar el enchufe actual de pared.
Respecto a tus preguntas:
Por supuesto que tendrás que soltar los cables de la hembra de la pared. Los sueltas y los vuelves a poner de modo que ahora sean "el cable que viene de la pared (el que estaba ya puesto) y el cable correspondiente de la regleta" los que vas a poner en cada contacto (tornillo) de la hembra de la pared, de modo que donde antes había un solo cable, ahora sean 2.
Si lo haces así no necesitaras ni cinta aislante ni estaño, es más, esos elementos procura evitarlos a toda costa.
Respecto a la toma de tierra lo mismo que con los otros dos hilos. Donde antes había un solo hilo en cada tornillo de tu hembra de la pared, ahora deberá haber dos hilos, el que venia de la pared y el que sale a la regleta.