Problemas con instalación agua caliente

Trataré de explicarlo bien.
En resumen, el problema es el siguiente: no se dispara el calentador de agua y por tanto no tenemos agua caliente. Además, ocurre algo curioso: si se corta la llave de paso de entrada del calentador, al abrir cualquier grifo de la casa (sólo agua caliente), sale un poco de agua (aproximadamente la mitad del caudal respecto a si dicha llave de paso pemaneciera abierta). Se supone que si se corta el agua caliente no debería salir nada de agua, y como digo, sale algo (fría por supuesto, ya que el calentador no funciona). Esta llave de paso acabamos de cambiarla al ver que ocurría eso, por si estaba rota, y el problema continúa.
Describiré un poco la instalación para aclarar algo. El agua entra a la casa a un depósito, desde el cual se alimenta por un lado al circuito de agua fría, y por otro al circuito de agua caliente. La casa está en una zona donde el agua tiene muchísima cal, y el caudal de agua caliente y la temperatura de ésta han ido bajando paulatinamente durante los últimos años, hasta llegar a un punto ahora en que el calentador no se dispara siquiera. No sé marca ni detalles técnicos del calentador, sólo que funciona con gas butano de bombona.
¿Me podéis indicar qué está pasando y cómo puede arreglarse? Ya ha venido un fontanero a casa, pero está muy despistado y no sabe qué hacer. Yo he pensado algunas cosas y me gustaría también que un experto las valorara:
1)Respecto a que salga agua cuando se cierra la llave de paso del calentador (recuerdo que por todos los grifos de la casa), creo que debe de haber alguna entrada de agua entre la salida del calentador y el punto en el que se bifurque el agua caliente para el resto de la casa. ¿Por qué podría existir esta conexión extraña de agua fría en la tubería de caliente? No sé. ¿Puede ser un error? ¿Puede qué la hiciera un fontanero como chapucilla para añadir algo de presión al agua caliente esperando que un poco de fría no se notara al mezclarse?
2)Respecto al problema principal, que no se dispara el calentador, se me ocurre lo siguiente. Que las tuberías del circuito de agua caliente se hayan llenado tanto de cal acumulada, que hayan reducido el caudal de paso por calentador hasta evitar que éste se dispare. En ese caso, ¿cuál es la solución? Limpiar las tuberías ¿puede hacerse esto? ¿Cambiar las tuberías? ¿Instalar una bomba a la entrada del calentador?