Medianera y piscina

Cuando compras una propiedad el vendedor te asegura que está libre de cargas. Así que no tienes que pagar ninguna parte de la medianería, que en todo caso le correspondería al vendedor.
Si en su día no pagó su parte y media algún tipo de contrato o acuerdo verbal, entiendo que es de carácter personal y no afecta a la propiedad en sí. Lo correcto es que lo reclame al que te vendió la propiedad. Supongo que tu vecina ve mucho más fácil reclamarte a ti, seguramente porque al anterior dueño ya le habría reclamado sin éxito.
En cuanto a la piscina, es imposible decirte si es legal o no. Lo habitual sería que sí lo fuera. O mejor dicho, que lo pudiera ser. Para construir una piscina es necesario un proyecto y una licencia del ayuntamiento que autorice las obras. Por tanto de entrada tu piscina es ilegal, ya que no ha pasado por este trámite.
Por otra parte, las condiciones que tienen que cumplir las piscinas, al igual que el resto de obras de todo tipo, lo establece cada ayuntamiento por su cuenta. Por este motivo, la normativa de piscinas es diferente en cada municipio y debes recurrir a los servicios técnicos del mismo para averiguar estos datos.
No es necesario que vayas al ayuntamiento con la localización exacta de tu casa, por si no quieres que se enteren que has hecho una piscina sin permiso de obras. Allí también te pueden facilitar la normativa genérica de la urbanización en cuanto a la construcción de piscinas (sin tener que identificar tu parcela, o dando una dirección aproximada, aunque no sea real).