Análisis

Supones lo siguiente: LE tiempo que tarda un objeto en subir es el mismo que tarda en bajar, también suponemos que la distancia que recorre es la mitad del tiempo en que tarda en bajar, de manera axiomática, la velocidad es proporcional a la distancia, en este caso la altura e inversamente proporcional a el tiempo de recorrido.

Suena un poco inconsistente la pregunta, preguntas como CALCULAR, pero después pones que el profesor te ha sugerido NO usar fórmulas, los cálculos se hacen con fórmulas
Solo me queda adivinar lo que puede estar pasando, quizá te han pedido MEDIR la velocidad inicial de lanzamiento de un objeto, en ese casi sí tiene sentido el controlar la velocidad de lanzamiento, si lanzamos con nuestras manos algo hacia arriba, por ejemplo, verticalmente trataremos de estirar nuestro brazo uniformemente con el objeto a lanzar en nuestras manos de modo de asegurar que la velocidad de salida sea la misma con la que estiramos nuestro brazo, dicha velocidad la calcularemos dividiendo el largo de nuestro brazo por el tiempo empleado en extenderlo y salga el objeto
La altura máxima alcanzada obviamente la mides con algún sensor óptico
Un análisis sin fórmulas es bastante pobre, pero creo la idea va en comprobar las mediciones has hecho con esas fórmulas, comprobaras que verticalmente lo que hay es un movimiento decelerado y horizontalmente un movimiento rectilíneo uniforme

Primero que todo: te puedo ayudar, pero no te puedo hacer la tarea, porque esa la tienes que hacer tú. Es por tu bien y es por eso que mi colega te da tareas. OK, con eso claro, empecemos.
La velocidad es instantánea, es decir, sólo la puedes calcular para un momento en particular, ya que cambia a cada instante. Por eso un proyectil llega a una altura máxima, que creo que es la que quieres calcular, cuando su velocidad llega a cero. De hecho, una vez que consideras la resistencia del aire es despreciable, al igual que el viento, lo único que necesitas saber es la velocidad inicial, ya que lo estás lanzando hacia arriba.
Para calcular la velocidad instantánea usas:
a)v=v0-g*t
Donde v es la velocidad instantánea, v0 la velocidad inicial, g la aceleración de gravedad y t el tiempo. Cuando v es cero, tienes el tiempo en que el objeto se detiene.
Para calcular la altura instantánea usas:
b)y = y0 + v0*t - 1/2*g*t^2
Donde y es la altura instantánea, y0 es la altura inicial y el resto son los mismos de la ecuación anterior.
Cuando reemplazas el tiempo que obtuviste en a) en la ecuación b) obtienes la altura máxima.
El análisis físico... Eso es un poco más complejo, porque viene de la integración de la ecuación de energía del cuerpo (energía cinética más potencial). No tengo idea del curso en que estás, así que esto te puede sonar a chino... Si estás en el curso adecuado, esto es bastante simple, por lo que no te lo voy a detallar. Si no... Hmmm...
Digamos que cuando lanzas un objeto hacia arriba con una velocidad v0, la gravedad de la tierra comienza a atraerlo. Esto se traduce en que su velocidad inicial disminuye, hasta detenerse. Desde ahí comienza a caer. Esta disminución en la velocidad está dada por la aceleración de gravedad multiplicada por el tiempo, lo que resulta en una "velocidad instantánea de gravedad", ya que cambia con el tiempo. Su signo es negativo por una cuestión de vectores: mientras la velocidad inicial es positiva, porque lanzas el objeto hacia arriba, la aceleración por el tiempo es negativa, porque es hacia abajo.
Ahora con la altura...
Si integras la fórmula anterior respecto al tiempo, obtienes la altura, pero no creo que eso convenza mucho a tu profesor... Voy a tratar...
La altura inicial es más o menos claro de donde sale. La velocidad inicial por el tiempo de da una posición, pero esa posición no incluye la aceleración de gravedad que lo está frenando. Por eso se agrega ese término, multiplicado por el tiempo al cuadrado para que nos entregue un valor de distancia. El "1/2" si que viene de la integración y no sé cómo justificarlo de otra forma.
Espero que esto te haya servido. En resumen: lanzas algo hacia arriba, pero la gravedad trata de devolverlo hacia la Tierra, por eso el objeto se detiene en aire y comienza a caer.

Existen fórmulas para poder calcularlo pero me tienes que decir qué es lo que sabes para emplearlo. Es un movimiento rectilíneo desacelerado por la gravedad (-9.8 m/s^2). Donde sólo depende de la velocida inicial: Vi^2=2*9.8*h. Esta es la fórmula, o sea, h= vi^2/19.6.
Pero si no puedes emplearla dime qué sabes o si te basarías en experimentos para calcularla, es decir, lanzas con varias velocidades inicales y mides primero la altura, eso se representa en una gráfica y así se puede obtener la fórmula o una regla que te permite relacionar altura y velocidad inicial.