Trabajo y energía
Un cuerpo de masa m=0.50Kg parte del reposo y se desliza 3.00m sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 45º con la horizontal, hasta que choca con un resorte de constante K=400N/m cuyo otro extremo está fijo al extremo inferior del plano. Calcule la máxima deformación del resorte, si el coeficiente de rozamiento dinámico entre el cuerpo y el plano es 0.1
Respuesta de 4491 Poncio Pilato
1
Hay que descomponer el peso en dos componentes:
Una normal al plano de deslizamiento. Con esta será con la que calculemos la fuerza de rozamiento multiplicándola por el coef de rozamiento.
Otra paralela al plano de deslizamieno y será la que actúa sobre la masa para hacerla descender. A esta fuerza se opondrá la de rozamiento y la de comprensión del muelle, llegando un momento en que la masa se pare y quede en equilibrio. Aprovecharemos ese momento para establecer la igualdad de fuerzas y resolver.
Fnormal=0,5*cos 45º =0,5*raiz cuadrada de 2/2
F rozamiento =coef rozamiento*Fnormal=0,1*0,5*raiz cuadrada de 2/2
F descendente ó F paralela al plano=0,5*sen45º=0,5*raiz cuadrada de 2/2
Fuerza del resorte=-k*x, siendo x la deformacion del resorte
Fuerza del resorte=-400*x
Igualando fuerzas
Fuerza del resorte = F descendente - F rozamiento
400*x = 0,5*raiz cuadrada de 2/2 - 0,1*0,5*raiz cuadrada de 2/2
Nota: la fuerza del resorte va con signo positivo porque ya la hemos colocado en el otro lado de la igualdad.
400*x = raiz cuadrada de 2/2 * (0,5 -0,05) = 0,45* raiz cuadrada de 2/2
x= 0,0008 mts = 0,8 mm.
Una normal al plano de deslizamiento. Con esta será con la que calculemos la fuerza de rozamiento multiplicándola por el coef de rozamiento.
Otra paralela al plano de deslizamieno y será la que actúa sobre la masa para hacerla descender. A esta fuerza se opondrá la de rozamiento y la de comprensión del muelle, llegando un momento en que la masa se pare y quede en equilibrio. Aprovecharemos ese momento para establecer la igualdad de fuerzas y resolver.
Fnormal=0,5*cos 45º =0,5*raiz cuadrada de 2/2
F rozamiento =coef rozamiento*Fnormal=0,1*0,5*raiz cuadrada de 2/2
F descendente ó F paralela al plano=0,5*sen45º=0,5*raiz cuadrada de 2/2
Fuerza del resorte=-k*x, siendo x la deformacion del resorte
Fuerza del resorte=-400*x
Igualando fuerzas
Fuerza del resorte = F descendente - F rozamiento
400*x = 0,5*raiz cuadrada de 2/2 - 0,1*0,5*raiz cuadrada de 2/2
Nota: la fuerza del resorte va con signo positivo porque ya la hemos colocado en el otro lado de la igualdad.
400*x = raiz cuadrada de 2/2 * (0,5 -0,05) = 0,45* raiz cuadrada de 2/2
x= 0,0008 mts = 0,8 mm.
Debo de rectificar la solución apuntada en la respuesta anterior, ya que lo que está solucionado es un problema de estática y no de dinámica por la existencia del dato de 3m ts de rampa por la que cae el objeto.
En este caso es un asunto de energías
Debido a la fuerza paralela al plano, el cuerpo cae acelerándose y tomando cada vez más velocidad y más energía. ¿Hasta dónde? No lo sabemos, pero recorrerá una distancia de 3 mts + lo que se comprima el muelle. Si a esto llamamos por, recorrerá 3+x.
Fuerza = masa * aceleracion
Aceleracion = Fuerza (la paralela al plano)/masa =0,5*raiz cuadrada de 2/2/0,5 = raiz cuadrada de 2/2
Velocidad cuando llega a equilibrarse con el muelle
S(espacio) = 1/2 *(v^2/aceleracion)
3+x = 1/2 *(v^2/raiz cuadrada de 2/2)
v^2 = 2*(3+x) * (raiz cuadrada de 2)/2
entonces la energia cinetica alcanzada por la masa de 0,5 será
Ec= 1/2(m*v^2) = 1/2*(0,5*2*(3+x) * (raiz cuadrada de 2)/2= (3+x) * (raiz cuadrada de 2)/4
y esa expresion será igual a la energia de compresion del muelle que es = 1/2*k*x^2 =1/2*(400* x^2)=200*x^2
igualando
(3+x) * (raiz cuadrada de 2)/4 = 200*x^2
De donde despejando x obtendremos la comprensión del muelle, salvo error u omisión por haberlo realizado excesivamente rapido por falta de tiempo.
En este caso es un asunto de energías
Debido a la fuerza paralela al plano, el cuerpo cae acelerándose y tomando cada vez más velocidad y más energía. ¿Hasta dónde? No lo sabemos, pero recorrerá una distancia de 3 mts + lo que se comprima el muelle. Si a esto llamamos por, recorrerá 3+x.
Fuerza = masa * aceleracion
Aceleracion = Fuerza (la paralela al plano)/masa =0,5*raiz cuadrada de 2/2/0,5 = raiz cuadrada de 2/2
Velocidad cuando llega a equilibrarse con el muelle
S(espacio) = 1/2 *(v^2/aceleracion)
3+x = 1/2 *(v^2/raiz cuadrada de 2/2)
v^2 = 2*(3+x) * (raiz cuadrada de 2)/2
entonces la energia cinetica alcanzada por la masa de 0,5 será
Ec= 1/2(m*v^2) = 1/2*(0,5*2*(3+x) * (raiz cuadrada de 2)/2= (3+x) * (raiz cuadrada de 2)/4
y esa expresion será igual a la energia de compresion del muelle que es = 1/2*k*x^2 =1/2*(400* x^2)=200*x^2
igualando
(3+x) * (raiz cuadrada de 2)/4 = 200*x^2
De donde despejando x obtendremos la comprensión del muelle, salvo error u omisión por haberlo realizado excesivamente rapido por falta de tiempo.
