Problema en aceleración
Tengo que un problema quisiera que me pudieras ayudar a resolver este problema..(=
Un corredor espera completar la carrera de 10 000 m en menos de 30.0 min. Después de exactamente 27.0 min, todavía le faltan por recorres 1100m. ¡¿Durante cuántos segundos debe entonces acelerar a 0.20 m/s2 (cuadrado) el corredor con la finalidad de lograr el tiempo deseado?
Si me pudieras ayudar seria excelente...!
Un corredor espera completar la carrera de 10 000 m en menos de 30.0 min. Después de exactamente 27.0 min, todavía le faltan por recorres 1100m. ¡¿Durante cuántos segundos debe entonces acelerar a 0.20 m/s2 (cuadrado) el corredor con la finalidad de lograr el tiempo deseado?
Si me pudieras ayudar seria excelente...!
1 respuesta
Respuesta de leviatanxxi
2
Vamos a ello.
El corredor empieza con Movimiento uniforme (MU), hasta que se da cuenta de que debe ir más rápido, y comienza un movimiento uniformemente acelerado (MUA). Vamos a suponer que ambos movimientos son rectilíneos (R).
El planteamiento que hago es que al correcor le quedan por recorrer 1100 metros. Parte de ellos los va a recorrer con MRUA, y parte de ellos los recorre con MRU. Lo que debemos calcular es durante cuánto tiempo utilizará ese MRUA.
Para ello, planteo que el espacio total a recorrer es el espacio recorrido con MRUA, al que llamaré eacelerado, más el espacio recorrido con MRU, al que llamaré euniforme. De esta forma:
e [total] = e [acelerado] + e [uniforme] (llamaré a esto ecuación 1)
Ahora sustituiré cada espacio por su ecuación correspondiente, teniendo en cuenta el tipo de movimiento:
Para MRUA: e [acelerado] = e [inicial] + v [inicial acelerado] · t[acelerado] + 1/2·a·t^2^[acelerado]
Para MRU: e[uniforme] = v[uniforme] ·t[uniforme]
La velocidad con la que inicia el MRU será la misma con la que ha acabado el MRUA. La calculo utilizando la ecuación correspondiente:
v[final acelerado] = v[inical acelerado]+ a·t[acelerado]
Por tanto la ecuación del MRU queda:
e [uniforme] = (v[inical acelerado]+ a·t[acelerado]) · t[uniforme]
Volviendo ahora a la ecuación 1:
e[total] = e[acelerado] + e[uniforme] = e[inicial] + v[inicial acelerado] · t[acelerado] + 1/2·a·t^2[aceleerado] + (v[inical acelerado]+ a·t[acelerado]) · t[uniforme]
Sustituimos los datos conocidos:
e[total] = 0 + v[inicial acelerado] · t[acelerado] + ½ ·0,2·t^2[acelerado] + (v[inical acelerado]+ 0,2 ·t[acelerado]) · t[uniforme] (le llamo ecuación 2)
En esta nueva ecuación tenemos dos problemas:
1.- No conocemos la velocidad con la que inicia el MRUA. Este problema es fácilmente salvable, ya que esa vinicial acelerado es la que lleva el corredor al darse cuenta de que debe empezar a acelerar, es decir, la que lleva tras recorrer el primer tramos de carrera, que ha sido de 10000 - 1100 metros, empleando 27 minutos (1620 s), corriendo con MRU, luego:
v[inicial acelerado] = v = e/t = (10000 - 1100) / 1620 = 5,49 m/s
2.- En la ecuación tenemos dos tiempos. También podemos solucionar este problema poniendo uno en función del otro, y esto podemos hacerlo sabiendo que en recorrer todo el espacio que le falta (1100 metros) debe invertitr 3 minutos, es decir, 180 segundos:
t[acelerado] + t[uniforme] = 180
Como nuestro problema pide el tiempo de MRUA, despejamos el otro: t[uniforme]= 180 - t[acelerado]
Llevando estas dos sooluciones a la ecuación 2:
e[total] = 0 + v[inicial acelerado] · t[acelerado] + ½ ·0,2·t^2^[acelerado] + (v[inical acelerado]+ 0,2 ·t[acelerado]) · t[uniforme] =
0 + 5,49 · t[acelerado] + ½ · 0,2 · t^2^[aceleerado] + 5,49 · t[uniforme] + 0,2 t[aceleerado] · t[uniforme] =
0 + 5,49 · t[acelerado] + ½ · 0,2 · t^2[aceleerado] + 5,49 · (180 - t[acelerado]) + 0,2 t[aceleerado] · (180 - t[acelerado]) =
0 + 5,49 · t[acelerado] + ½ · 0,2 · t^2[aceleerado] + 988,2 - 5,49 · t[acelerado] + 36 · t[aceleerado] - 0,2 t^2[acelerado])
El etotal son 1100 metros, así que sustituyendo y arreglando al ecuación obtenemos que:
1100 = -0,1 t^2[aceleerado] + 36· t[aceleerado] + 988,2
Si la preparamos para resolver como ecuación de segundo grado:
0,1 t^2[aceleerado] -36· t[aceleerado] + 111,8 = 0
Y finalmente, aplicando la fórmula para resolver ec de segundo grado, obtenemos las dos soluciones:
t [acelerado] = 356,87 s y t [acelerado] = 3,13 s
De las dos soluciones debemos descartar la primera, pues ese tiempo es superior al que queda de carrera (que era 180s) por lo que el corredor deberá mantener un MRUA con aceleración de 0,2 m/s2 durante 3,13 segundos, para continuar después con MRU.
El corredor empieza con Movimiento uniforme (MU), hasta que se da cuenta de que debe ir más rápido, y comienza un movimiento uniformemente acelerado (MUA). Vamos a suponer que ambos movimientos son rectilíneos (R).
El planteamiento que hago es que al correcor le quedan por recorrer 1100 metros. Parte de ellos los va a recorrer con MRUA, y parte de ellos los recorre con MRU. Lo que debemos calcular es durante cuánto tiempo utilizará ese MRUA.
Para ello, planteo que el espacio total a recorrer es el espacio recorrido con MRUA, al que llamaré eacelerado, más el espacio recorrido con MRU, al que llamaré euniforme. De esta forma:
e [total] = e [acelerado] + e [uniforme] (llamaré a esto ecuación 1)
Ahora sustituiré cada espacio por su ecuación correspondiente, teniendo en cuenta el tipo de movimiento:
Para MRUA: e [acelerado] = e [inicial] + v [inicial acelerado] · t[acelerado] + 1/2·a·t^2^[acelerado]
Para MRU: e[uniforme] = v[uniforme] ·t[uniforme]
La velocidad con la que inicia el MRU será la misma con la que ha acabado el MRUA. La calculo utilizando la ecuación correspondiente:
v[final acelerado] = v[inical acelerado]+ a·t[acelerado]
Por tanto la ecuación del MRU queda:
e [uniforme] = (v[inical acelerado]+ a·t[acelerado]) · t[uniforme]
Volviendo ahora a la ecuación 1:
e[total] = e[acelerado] + e[uniforme] = e[inicial] + v[inicial acelerado] · t[acelerado] + 1/2·a·t^2[aceleerado] + (v[inical acelerado]+ a·t[acelerado]) · t[uniforme]
Sustituimos los datos conocidos:
e[total] = 0 + v[inicial acelerado] · t[acelerado] + ½ ·0,2·t^2[acelerado] + (v[inical acelerado]+ 0,2 ·t[acelerado]) · t[uniforme] (le llamo ecuación 2)
En esta nueva ecuación tenemos dos problemas:
1.- No conocemos la velocidad con la que inicia el MRUA. Este problema es fácilmente salvable, ya que esa vinicial acelerado es la que lleva el corredor al darse cuenta de que debe empezar a acelerar, es decir, la que lleva tras recorrer el primer tramos de carrera, que ha sido de 10000 - 1100 metros, empleando 27 minutos (1620 s), corriendo con MRU, luego:
v[inicial acelerado] = v = e/t = (10000 - 1100) / 1620 = 5,49 m/s
2.- En la ecuación tenemos dos tiempos. También podemos solucionar este problema poniendo uno en función del otro, y esto podemos hacerlo sabiendo que en recorrer todo el espacio que le falta (1100 metros) debe invertitr 3 minutos, es decir, 180 segundos:
t[acelerado] + t[uniforme] = 180
Como nuestro problema pide el tiempo de MRUA, despejamos el otro: t[uniforme]= 180 - t[acelerado]
Llevando estas dos sooluciones a la ecuación 2:
e[total] = 0 + v[inicial acelerado] · t[acelerado] + ½ ·0,2·t^2^[acelerado] + (v[inical acelerado]+ 0,2 ·t[acelerado]) · t[uniforme] =
0 + 5,49 · t[acelerado] + ½ · 0,2 · t^2^[aceleerado] + 5,49 · t[uniforme] + 0,2 t[aceleerado] · t[uniforme] =
0 + 5,49 · t[acelerado] + ½ · 0,2 · t^2[aceleerado] + 5,49 · (180 - t[acelerado]) + 0,2 t[aceleerado] · (180 - t[acelerado]) =
0 + 5,49 · t[acelerado] + ½ · 0,2 · t^2[aceleerado] + 988,2 - 5,49 · t[acelerado] + 36 · t[aceleerado] - 0,2 t^2[acelerado])
El etotal son 1100 metros, así que sustituyendo y arreglando al ecuación obtenemos que:
1100 = -0,1 t^2[aceleerado] + 36· t[aceleerado] + 988,2
Si la preparamos para resolver como ecuación de segundo grado:
0,1 t^2[aceleerado] -36· t[aceleerado] + 111,8 = 0
Y finalmente, aplicando la fórmula para resolver ec de segundo grado, obtenemos las dos soluciones:
t [acelerado] = 356,87 s y t [acelerado] = 3,13 s
De las dos soluciones debemos descartar la primera, pues ese tiempo es superior al que queda de carrera (que era 180s) por lo que el corredor deberá mantener un MRUA con aceleración de 0,2 m/s2 durante 3,13 segundos, para continuar después con MRU.
