Ayuda con cinemática...
Espero puedas ayudarme a resolver, por que no c como hace la parte b)...
El movimiento curvilíneo de una partícula se describe por las ecuaciones x= 2- 7t2; y= -4t + 5t3 .Hallar:
a) Los vectores velocidad y aceleración en t=3s.
b) El ángulo que forman los vectores velocidad y aceleración.
El movimiento curvilíneo de una partícula se describe por las ecuaciones x= 2- 7t2; y= -4t + 5t3 .Hallar:
a) Los vectores velocidad y aceleración en t=3s.
b) El ángulo que forman los vectores velocidad y aceleración.
1 Respuesta
Respuesta de leviatanxxi
1
Discúlpame pero, ¿estás seguro/a de que la ecuación Y es correcta? ¿Es posible que el exponente 3 sea realmente exponente 2?
No el exponente es 3.
Conforme. Se trata en entonces de un movimiento curvilíneo, pero no circular.
Para obtener la velocidad, debemos derivar pa posición respecto al tiempo:
Si x = 2 -7·t^2, Vx = -14·t
Si y = -4·t + 5·t^3, Vy = -4 + 15·t^2
Por tanto V será la suma de ambas componentes, Vx y Vy.
Para obtener la aceleración, debemos derivar dos veces la posición con respecto al tiempo, o derivar las velocidades con respecto al tiempo:
Si Vx = -14·t, ax = -14
Si Vy = -4 + 15·t^2, ay = 30·t
Por tanto, la aceleración total será lña suma de ambas componentes, ax y ay.
Si queremos concoer el valor de V y a para t=3s:
V = Vx(3) + Vy(3) = -14·3 + (-4 + 15 · 3^2) = -42 + 131 = 89 m/s
a = ax(3) + ay(3) = -14 + 30 · 3 = -14 + 90 = 76 m/s^2
b) En cuanto al ángulo lo podemos deducir a aprtir del producto escalar de dos vectores, y viene dado por la expresión:
cos ángulo = (vx·ax + vy·ay) / (módulo de v · módulo de a)
Si te refieres al ángulo que forman en el momento t=3s
módulo de v = Raíz (vx^2 + vy^2) = raíz ((-42)^2 + 131^2) = 137.57
módulo de a = Raíz (ax^2 + ay^2) = raíz ((-14)^2 + 90^2) = 91.08
Por tanto:
cos ángulo = (vx·ax + vy·ay) / (módulo de v · módulo de a)
= [-42·(-14) + 131 · 90] / (137.57 · 91.08) = 0.99
Y entonces ángulo = 8.93º.
Pero si te refieres al ángulo que forman en cualquier momento, sería:
cos ángulo = (vx·ax + vy·ay) / (módulo de v · módulo de a)
= [-14·t · (-14) + (-4 + 15·t^2) · 30·t)] / [raíz ((-14·t)^2 + (-4 + 15·t^2)^2) · raíz ((-14)^2 + (-4 + 30·t)^2)]
= (196·t -120·t + 450·t^3) / [raíz (196·t^2 + 16 + 225·t^4 - 120·t^2) · raíz (196 + 16 + 900·t^4 - 240·t^2)]
= 76·t + 450 ·t^3 / raíz [(196·t^2 + 16 + 225·t^4 - 120·t^2) ·(196 + 16 + 900·t^4 - 240·t^2) ]
= 76·t + 450 ·t^3 / raíz [(76·t^2 + 16 + 225·t^4) · (212 + 900·t^4 - 240·t^2) ]
Si quieres simplificar esta última expresión, bastaría con aplicar la propiedad distributiva en el interior de la raíz y reducir términos. Así obtendrás la ecuación general que te permitirá calcular el ángulo formado por ambos vectores en cualquier momento.
Si te queda alguna duda, aquí me tienes.
Para obtener la velocidad, debemos derivar pa posición respecto al tiempo:
Si x = 2 -7·t^2, Vx = -14·t
Si y = -4·t + 5·t^3, Vy = -4 + 15·t^2
Por tanto V será la suma de ambas componentes, Vx y Vy.
Para obtener la aceleración, debemos derivar dos veces la posición con respecto al tiempo, o derivar las velocidades con respecto al tiempo:
Si Vx = -14·t, ax = -14
Si Vy = -4 + 15·t^2, ay = 30·t
Por tanto, la aceleración total será lña suma de ambas componentes, ax y ay.
Si queremos concoer el valor de V y a para t=3s:
V = Vx(3) + Vy(3) = -14·3 + (-4 + 15 · 3^2) = -42 + 131 = 89 m/s
a = ax(3) + ay(3) = -14 + 30 · 3 = -14 + 90 = 76 m/s^2
b) En cuanto al ángulo lo podemos deducir a aprtir del producto escalar de dos vectores, y viene dado por la expresión:
cos ángulo = (vx·ax + vy·ay) / (módulo de v · módulo de a)
Si te refieres al ángulo que forman en el momento t=3s
módulo de v = Raíz (vx^2 + vy^2) = raíz ((-42)^2 + 131^2) = 137.57
módulo de a = Raíz (ax^2 + ay^2) = raíz ((-14)^2 + 90^2) = 91.08
Por tanto:
cos ángulo = (vx·ax + vy·ay) / (módulo de v · módulo de a)
= [-42·(-14) + 131 · 90] / (137.57 · 91.08) = 0.99
Y entonces ángulo = 8.93º.
Pero si te refieres al ángulo que forman en cualquier momento, sería:
cos ángulo = (vx·ax + vy·ay) / (módulo de v · módulo de a)
= [-14·t · (-14) + (-4 + 15·t^2) · 30·t)] / [raíz ((-14·t)^2 + (-4 + 15·t^2)^2) · raíz ((-14)^2 + (-4 + 30·t)^2)]
= (196·t -120·t + 450·t^3) / [raíz (196·t^2 + 16 + 225·t^4 - 120·t^2) · raíz (196 + 16 + 900·t^4 - 240·t^2)]
= 76·t + 450 ·t^3 / raíz [(196·t^2 + 16 + 225·t^4 - 120·t^2) ·(196 + 16 + 900·t^4 - 240·t^2) ]
= 76·t + 450 ·t^3 / raíz [(76·t^2 + 16 + 225·t^4) · (212 + 900·t^4 - 240·t^2) ]
Si quieres simplificar esta última expresión, bastaría con aplicar la propiedad distributiva en el interior de la raíz y reducir términos. Así obtendrás la ecuación general que te permitirá calcular el ángulo formado por ambos vectores en cualquier momento.
Si te queda alguna duda, aquí me tienes.
