Comprueba que mgh = -GMm/r
Un ejercicio de física que me han pedido...
Se trata de comprobar que la expresión de energía potencial Ep=mgh es una aproximación de la energía potencial para un modelo de tierra esférica, dada por Ep= -GMm/r, donde r es la distancia al centro de la tierra (r= Rt+h).
El enunciado te recuerda que para un modelo de tierra esférica g=GMt/Rt^2.
También dice que adicionalmente compruebes que si h<600m, el error cometido si consideramos la expresion aproximada es <0,01%
Muchas gracias.
en la respuesta me he fijado que consideraste que Ep = -GMm/(rt+h)^2, y en realidad es Ep =-GMm/(rt+h) no elevado al cuadrado, no? Entonces la demostracion cambia? Podrias aclarar la duda?
Se trata de comprobar que la expresión de energía potencial Ep=mgh es una aproximación de la energía potencial para un modelo de tierra esférica, dada por Ep= -GMm/r, donde r es la distancia al centro de la tierra (r= Rt+h).
El enunciado te recuerda que para un modelo de tierra esférica g=GMt/Rt^2.
También dice que adicionalmente compruebes que si h<600m, el error cometido si consideramos la expresion aproximada es <0,01%
Muchas gracias.
en la respuesta me he fijado que consideraste que Ep = -GMm/(rt+h)^2, y en realidad es Ep =-GMm/(rt+h) no elevado al cuadrado, no? Entonces la demostracion cambia? Podrias aclarar la duda?
Respuesta de leviatanxxi
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Tienes razón. En la solución que te adjunté hay un desliz (bastante grave, por cierto) aunque el resultado es correcto, ya que el despiste solo está en algunos pasos:
Te reescribo la solución corregida:
Para demostrarlo, basta con calcular mediante las dos fórmulas la diferencia de energía potencial entre dos puntos.
Si Ep = m·g·h:
Ep(2) - Ep(1) = m·g·(h2-h1)
Si Ep = -G·M·m/(Rt+h)
Ep(2) - Ep(1) = -G·M·m/(Rt+h2) - [-G·M·m/(Rt+h1)] = G·M·m·[1/(Rt+h1) - 1/(Rt+h2)] OJO AQUÍ. SE HACAMBIADO EL ORDEN Y EL SIGNO.
= G·M·m·[(h2-h1)/(Rt^2 + Rt·h2 + Rt·h1 + h1·h2)] y aquí es donde se aplica la aproximación que comentas, ya que la fórmula Ep = m·g·h solo es válida para alturas muy pequeñas comparadas con el radio terrestre. Por tanto, si h<<<Rt podemos simplificar la expresión anterior:
Ep(2) - Ep(1) = G·M·m·[(h2-h1)/(Rt^2 + Rt·h2 + Rt·h1 + h1·h2)] = G·M·m·[(h2-h1)/Rt^2]
Y como G·M·m/Rt^2 = g, nos queda que Ep(2) - Ep(1) = m·g·(h2-h1) que es lo mismo que hemos obtenido con la ecuación simplificada.
Te reescribo la solución corregida:
Para demostrarlo, basta con calcular mediante las dos fórmulas la diferencia de energía potencial entre dos puntos.
Si Ep = m·g·h:
Ep(2) - Ep(1) = m·g·(h2-h1)
Si Ep = -G·M·m/(Rt+h)
Ep(2) - Ep(1) = -G·M·m/(Rt+h2) - [-G·M·m/(Rt+h1)] = G·M·m·[1/(Rt+h1) - 1/(Rt+h2)] OJO AQUÍ. SE HACAMBIADO EL ORDEN Y EL SIGNO.
= G·M·m·[(h2-h1)/(Rt^2 + Rt·h2 + Rt·h1 + h1·h2)] y aquí es donde se aplica la aproximación que comentas, ya que la fórmula Ep = m·g·h solo es válida para alturas muy pequeñas comparadas con el radio terrestre. Por tanto, si h<<<Rt podemos simplificar la expresión anterior:
Ep(2) - Ep(1) = G·M·m·[(h2-h1)/(Rt^2 + Rt·h2 + Rt·h1 + h1·h2)] = G·M·m·[(h2-h1)/Rt^2]
Y como G·M·m/Rt^2 = g, nos queda que Ep(2) - Ep(1) = m·g·(h2-h1) que es lo mismo que hemos obtenido con la ecuación simplificada.
