Álgebra

No es lo mismo.
Una base finita es aquella que tiene un número finito de vectores que la componen.
Ej:
R2: Base={(1,0),(0,1)}
R3: Base={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
Polinomios de grado menor o igual a dos: Base={1,x,x^2}
El número de vectores que componen la base es la dimensión del espacio, y esto hace que todas las bases de ese espacio han de tener el mismo número de vectores
R2: Dim=2
R3: Dim=3
P2: Dim=3
Ahora bien, la base no es única, y podemos coger como base de R2
R2: B1={(1,1),(1,2)
B2={(1,3),(3,8)}
B3={(0,1),(9,8)}
Basta con coger dos vectores independientes y ya tienes una base
Es decir un espacio vectorial tiene infinitas bases, pero todas ellas compuestas por tantos vectores como nos marque la dimensión:
R2: Tiene infinitas bases, pero todas ellas finitas
Por otra parte también tendrás espacios de dimensión infinita: hay infinitos vectores en la base:
Ej: espacio de todos los polinomios
Base={1,x,x^2,x^3,x^4......}
Espacio de todas las funciones
Resumiendo, todo espacio tiene infinitas bases. Estas bases pueden ser finitas (dimensión finita) o infinitas (dimensión infinita).