Optimización
Hola, vamos a ver, tengo un problema de optimización de 2 variables, calculo los puntos estacionarios (me salen 4) los sustituyo en la matriz Hessiana y todo bien, excepto con uno que me sale la Hessiana la matriz nula.
¿Qué hago con esa matriz nula?
¿Qué quiere decir eso?
Muchas gracias
¿Qué hago con esa matriz nula?
¿Qué quiere decir eso?
Muchas gracias
1 Respuesta
Respuesta de eudemo
1
Cuando el determinante Hessiano es cero el método falla y hay que usar otros métodos que nos permitan determinar si la función atraviesa o no el plano tangente.
La diferencia entre la función y el plano tangente es un infinitesimo de segundo orden y se lo puede aproximar con una cuadrica cuya matriz es la hessiana de la función en ese punto.
Cuando el determinante hessiano se hace nulo la cuadrica degenera en un plano.
Ocurre lo mismo que con funciones de una variable.
En los puntos estacionarios hay un máximo si la derivada segunda es negativa. La diferencia entre la función y la recta tangente la estamos aproximando con una parábola que depende de la derivada segunda.
Si la derivada segunda es positiva hay un mínimo, si es negativa hay un máximo y si es cero el método falla
La diferencia entre la función y el plano tangente es un infinitesimo de segundo orden y se lo puede aproximar con una cuadrica cuya matriz es la hessiana de la función en ese punto.
Cuando el determinante hessiano se hace nulo la cuadrica degenera en un plano.
Ocurre lo mismo que con funciones de una variable.
En los puntos estacionarios hay un máximo si la derivada segunda es negativa. La diferencia entre la función y la recta tangente la estamos aproximando con una parábola que depende de la derivada segunda.
Si la derivada segunda es positiva hay un mínimo, si es negativa hay un máximo y si es cero el método falla
Ok, vale, el método falla, pero el método que yo conozco para resolver esto no me funciona cuando la matriz hessiana es la matriz nula, no es que salga el determinante cero sólo, es que es la matriz nula.
Mira a ver que puedo hacer
Contesta rápido si puedes gracias
Mira a ver que puedo hacer
Contesta rápido si puedes gracias
Lo que ya sabemos de la función en el punto dado es que el plano tangente es horizontal (paralelo al plano xy).
Lo que nos falta saber es si en un entorno lo suficientemente pequeño de ese punto la función queda toda por encima (mínimo) o toda por debajo(máximo) o ninguna de las dos cosas.
El hessiano nos da la forma de una cuadrica que se aproxima a la función en ese punto. Es una aproximación de segundo orden. La aproximación de primer orden es el plano tangente mismo así que no nos sirve.
Cuando la matriz hessiana tiene determinante nulo esa aproximación de segundo orden es nuevamente un plano horizontal que no nos pormite decidir si la función atraviesa o no a su plano tangente en los entornos del punto en cuestión.
Entonces quedan dos caminos.
O recurrir a las derivadas terceras a ver que pasa, cosa que no me parece conveniente porque podríamos segur así indefinidamente o inspeccionar la función en el punto y decidir si atraviesa o no a su plano tangente en un entorno del punto lo suficientemete pequeño.
La manera de hacer esto depende mucho de la función que estas estudiando.
Muchas veces conviene salir del punto por una recta de pondiente m, es decir hacer
Y-Yo=m(X-Xo)
F(X,Y)=F( X , m(X-Xo)+Yo )
Y ver si la función de por que se obtiene tiene o no siempre un máximo o un mínimo para cualquier valor de m.
Si tiene máximo o mínimo dependiendo del valos de m entonces el punto estacionario no es ni máximo ni mínimo. Como ves no hay un procedmineto estandarizado.
En resumen tienes que analizar la forma de la función en las cercanías del punto en cuestión. No creo que tengas dificultades pero si ese llega a ser el caso me envías la función.
Lo que nos falta saber es si en un entorno lo suficientemente pequeño de ese punto la función queda toda por encima (mínimo) o toda por debajo(máximo) o ninguna de las dos cosas.
El hessiano nos da la forma de una cuadrica que se aproxima a la función en ese punto. Es una aproximación de segundo orden. La aproximación de primer orden es el plano tangente mismo así que no nos sirve.
Cuando la matriz hessiana tiene determinante nulo esa aproximación de segundo orden es nuevamente un plano horizontal que no nos pormite decidir si la función atraviesa o no a su plano tangente en los entornos del punto en cuestión.
Entonces quedan dos caminos.
O recurrir a las derivadas terceras a ver que pasa, cosa que no me parece conveniente porque podríamos segur así indefinidamente o inspeccionar la función en el punto y decidir si atraviesa o no a su plano tangente en un entorno del punto lo suficientemete pequeño.
La manera de hacer esto depende mucho de la función que estas estudiando.
Muchas veces conviene salir del punto por una recta de pondiente m, es decir hacer
Y-Yo=m(X-Xo)
F(X,Y)=F( X , m(X-Xo)+Yo )
Y ver si la función de por que se obtiene tiene o no siempre un máximo o un mínimo para cualquier valor de m.
Si tiene máximo o mínimo dependiendo del valos de m entonces el punto estacionario no es ni máximo ni mínimo. Como ves no hay un procedmineto estandarizado.
En resumen tienes que analizar la forma de la función en las cercanías del punto en cuestión. No creo que tengas dificultades pero si ese llega a ser el caso me envías la función.
