Problemas de optimización.
Un alambre de 100 metros de largo se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Halla la longitud de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del circulo sea mínima.
1 respuesta
Respuesta de Fran José García
1
Bueno el enunciado nos indica que tenemos 100 metros de alambre, supongo que habrá que coger los 100 metros en el reparto.
En primer lugar vamos a escribir la función que tenemos que minimizar, para ello vamos a llamar A(1) al área del cuadrado y A(2) al área del círculo, por tanto
A(1) = x^2
A(2) = Pi·y^2
Donde "x" es el lado del cuadrado e "y" el radio de la circunferencia, por lo tanto la función a minimizar es la suma de estas dos áreas
A(t) = x^2 + Pi·y^2
Sin embargo, tenemos una restricción, ya que si no el mínimo de esa función es el x = 0 ; y = 0,no?
Bueno la restricción es que disponemos de 100 metros de alambre, entonces tenemos que el perímetro del cuadrado y el perímetro de la circunferencia deben sumar 100, esto es
4·x + 2·Pi·y = 100
entonces ¿Qué método utilizamos para realizar la minimización? Pues sí, has acertado, los multiplicadores de Lagrange,
así, la función a minimizar es
f(x,y,L) = x^2 + Pi·y^2 + L·(4·x + 2·Pi·y - 100)
Así calculamos las derivadas parciales respecto de por, y, L, las igualamos a cero y resolvemos el sistema que se obtiene y resulta que debemos coger
x = 100 / (4 + Pi)
y = 50 / (4 + Pi)
Bueno como regla general, tenemos que si el alambre mide "m" metros la solución general será
x = m / (4 + Pi)
y = (m/2) / (4 + Pi)
Ahora debemos calcular la matriz Hessiana y ver si en dicho punto es definida positiva, o semidefinida positiva, para que sea un mínimo, esto lo he hecho y es cierto.
Así que dicho punto es un mínimo.
Saludos.
PD: No ha puesto todo el procedimiento puesto que no es lo que preguntas, únicamente pides que se resuelva. Aún así, en la red hay miles de ejercicios de los multiplicadores de Lagrange.
En primer lugar vamos a escribir la función que tenemos que minimizar, para ello vamos a llamar A(1) al área del cuadrado y A(2) al área del círculo, por tanto
A(1) = x^2
A(2) = Pi·y^2
Donde "x" es el lado del cuadrado e "y" el radio de la circunferencia, por lo tanto la función a minimizar es la suma de estas dos áreas
A(t) = x^2 + Pi·y^2
Sin embargo, tenemos una restricción, ya que si no el mínimo de esa función es el x = 0 ; y = 0,no?
Bueno la restricción es que disponemos de 100 metros de alambre, entonces tenemos que el perímetro del cuadrado y el perímetro de la circunferencia deben sumar 100, esto es
4·x + 2·Pi·y = 100
entonces ¿Qué método utilizamos para realizar la minimización? Pues sí, has acertado, los multiplicadores de Lagrange,
así, la función a minimizar es
f(x,y,L) = x^2 + Pi·y^2 + L·(4·x + 2·Pi·y - 100)
Así calculamos las derivadas parciales respecto de por, y, L, las igualamos a cero y resolvemos el sistema que se obtiene y resulta que debemos coger
x = 100 / (4 + Pi)
y = 50 / (4 + Pi)
Bueno como regla general, tenemos que si el alambre mide "m" metros la solución general será
x = m / (4 + Pi)
y = (m/2) / (4 + Pi)
Ahora debemos calcular la matriz Hessiana y ver si en dicho punto es definida positiva, o semidefinida positiva, para que sea un mínimo, esto lo he hecho y es cierto.
Así que dicho punto es un mínimo.
Saludos.
PD: No ha puesto todo el procedimiento puesto que no es lo que preguntas, únicamente pides que se resuelva. Aún así, en la red hay miles de ejercicios de los multiplicadores de Lagrange.
