Ejercicio de matemáticas
escribo para ver si me pueden ayudar con estos ejercicios
1. Sean a, b pertenecen a los reales. Demostrar que para todo c>0, c pertenece a los reales, a<b+c entonces a<=b
2. La función identidad ix en X es la función de X a si mimsma definida por ix(x)=x para cada x. Sean X y Y conjuntos no vacíos y f una función de X a Y mostrar:
a. F es uno a uno si y solo si existe una función g de Y a X tal que g o f = ix
b. F es sobre si y solo si existe una función h de Y a X tal que g o h = iy
les agradezco cualquier ayuda que me puedan con esto.
1 respuesta
1)
Supongamos que no se cumpla, es decir
a > b
tomamos d = a-b, se cumple d>0
y tomamos c = d/2 = (a-b)/2
Entonces se cumple
b+c = b + (a-b) / 2 = (2b+a-b)/2 = (b+a)/2
como a> b
(b+a)/2 < (a+a)/2 = a
en resumen
b+c < a
Pero esto es absurdo porque se cumplía b+c >a por hipótesis
Luego la tesis a>b es falsa y por lo tanto se cumple a<=b
2)
a)
Demostración de izquierda a derecha
Suponemos que f es uno a uno de X en Y
dado x € X sea y=f(x)
tomamos la función g de Y en X dada por:
{g(y) = x€X tal que f(x)=y; si y € Im(X)
{g(y) = cualquier elemento de X; si y no pertenece a Im(X)
Sea x€X y sea f(x)=y
(gof)(x) = g[f(x)] = g(y)
como y € Im(X) se aplica la primera linea de la definición de g
y además, como es uno a uno existe un único z€X tal que f(z)=y luego z=x
luego g(y)=x
luego (gof)(x) = x para todo x € X
y por tanto gof = Ix
Demostración de derecha a izquierda
Suponemos que existe g de Y en X tal que gof=Ix
Supongamos existen x1,x2 € X tales que f(x1)=f(x2), Entonces
g[f(x1)] = g[f(x2)]
(gof)(x1) = (gof)(x2)
Ix(x1) = Ix(x2)
x1=x2
Luego f es una función uno a uno
b) F es sobre si y solo si existe una función h de Y a X tal que g o h = iy
Ese enunciado debe estar mal, aparece una función g que no viene al caso. Repasa el enunciado tendrian que hablar de una f y una g o de una f y una h, pero de una f, una g y una h.
hola, disculpa si es f o h =iy
Vale, entonce es:
b) F es sobre si y solo si existe una función h de Y a X tal que f o h = iy
Demostración de izquierda a derecha.
F es sobreyectiva, para todo y€Y existe x€X tal que f(x)=y
Entonces para todo y€Y definimos la función h de Y en X asi
h(y) = x€X tal que f(x)=y
Puede haber varios x cumpliendo eso, pero no importa, tomamos uno cualquiera de ellos. Entonces:
(foh)(y) = f[h(y)] = f(x) = y para todo y€Y, luego
foh = iy
Demostración de derecha a izquierda.
Existe una función h tal que foh = iy
Dado y € Y
foh(y) = y
f[h(y)] = y
tomamos el elemento x=h(y) € X
entonces f(x) = y
Luego todo y€Y tiene un x€X tal que f(x)=y, luego f es sobre.
Y eso es todo.
