¿Es sobreyectiva la composición de dos funciones sobreyectivas?
Abusando de tu disposición para explicar, no entiendo lo que piden en estas tres preguntas:
¿Es sobreyectiva la composición de dos funciones sobreyectivas? Prueba o da contraejemplo
¿Es sobreyectiva la composición de dos funciones sobreyectivas? Prueba o da contraejemplo
¿Es biyectiva la composición de dos funciones biyectivas? Prueba o da contraejemplo
1 Respuesta
Fred Ro!
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Sí, la composición de funciones sobreyectivas es sobreyectiva
A ----- f ----> B ------ g ------->C
A ------------- gof --------------->C
Debemos demostrar que para todo c€C existe un a€A tal que (gof)(a) = c
Sea c€C, por ser g sobreyectiva existe un b€B (al menos uno) tal que g(b) = c
Y por ser f sobreyectiva, existe al menos un a€A tal que f(a) = b
Entonces tomando este elemento a tendremos
(gof)(a) =g(f(a)) = g(b) = c
Luego la composición gof es sobreyectiva
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La segunda pregunta es igual que la primera, revisa el enunciado, yo creo que querías decir otra.
Efectivamente, con esto me queda claro el caso de la sobreyectiva, las otras preguntas son lo mismo pero para inyectivas y biyectivas
Gracias de antemano
Ahora demostremos que si f y g son inyectivas entonces gof es inyectiva
La demostración de que una función es inyectiva se hace tomando dos elementos con la misma imagen y entonces los dos elementos deben ser iguales
Supongamos dos elementos a y a' € A tales que
(gof)(a) = (gof)(a') = c
por la definición de composición de funciones
g(f(a)) = g(f(a'))
Como g es inyectiva se cumple
f(a) = f(a')
y como f es inyectiva se cumple
a=a'
Luego gof es inyectiva.
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Y la demostración que si son biyectivas la composición es biyrctivas se deduce de las dos anteriores.
Si f y g son biyectivas son inyectivas, luego gof es inyectiva
Si f y g son biyectivas son sobreyectivas, luego gof es sobreyectiva
Y como gof es inyectiva y suprayectiva entonces es biyectiva.
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Y eso es todo.
