Anónimo
Dudas con composición de funciones matemáticas
Valero ASM!
Por lo visto entonces tu profesión es matemático puro.
¿Dónde te preparaste en una universidad, instituto o en otro lugar? ¿Cómo son los centros de estudios allá en España?,
Te mando mis dudas:
Primera parte:
Si f y g son ambas funciones inyectivas, entonces la función fog también es inyectiva, y satisfacen la relación:
(fog) inversa=ginversa o finversa...i)
Sol)
Ya demostré fog efectivamente es inyectiva y también... I).
Veo que esto se generaliza para enésimos términos aplicando inducción matemática. Claro que me resulto más difícil demostrar... I).
(Mi duda es): Si una o ambas de las funciones f y g pueden no ser inyectivas y sin embargo puede existir la función inversa ¿verdad? Entonces no puedo emplear... I), debido a que esta no tiene sentido entonces ¿existe una manera de representar (fog)inversa en función de f y g?
Segunda parte:
Dadas las funciones f y g, se cumple que
a)Si h=fog entonces f(x)=((h)o (g inversa)) (x), pero solamente paa los x E Domf ^ Rangg, que en general es una parte de Domf.
Nota:Este teorema nos indica que al despejar una funcionf en una composición, en general de lo que se obtiene no es toda la función f sino solamente una parte, es decir una restricción de f.
Ej: Sean f(x)=x+2, x E [0,8] ; g(x)=x-1, x E [-5,5]; si h=fog entonces h(x)=x+1, x E [1,5]=Domh. Si quiseramos despejar f de esta ecuacion veamos lo que ocurriria:
h=fog entonces h o ginversa= f o g o ginversa=f entonces f= h o ginversa cuyo dominio es Dom h o ginversa, y probaremos que coincide con Domf ^Rang g mas no con Domf
¿Quisiera una demostración del enunciado de que al despejar f se obtiene un dominio que esta incluido en el Dom f?
Tercera parte:
Sea f(x)=ax^2 + bx + c, a diferente de cero
Si la función es univalente y continua tenemos los siguientes resultados válidos referidos a los dominio y a los rangos correspondientes.
Domf entonces Ranf
Intervalo<r,s> <f(r), f(s)> ó <f(s), f(r)> Dependiendo de cual extremo es mayor.
Procediendo de la misma manera para los intervalos[r,s>;<r,s] y [r,s]
Ej1)
Calculo el rango de f(x)=( x^2) -8x +4, x E <4,8]:
Sol)
Operando observas que se cumple Rang f=<f(4), f(8)] ¿es correcto?
También sirve para funciones más complejas:
Ej2)
Calcule el rango de f(x)= (2x-5)/ (x^2 + 2x-3) , x E [2,4>:
Sol)
Efectivamente se demustra que es inyectiva entonces Ranf=[f(2),f(4)>.
¿Quisiera conocer cual es la demostración de esta propiedad?
Por lo visto entonces tu profesión es matemático puro.
¿Dónde te preparaste en una universidad, instituto o en otro lugar? ¿Cómo son los centros de estudios allá en España?,
Te mando mis dudas:
Primera parte:
Si f y g son ambas funciones inyectivas, entonces la función fog también es inyectiva, y satisfacen la relación:
(fog) inversa=ginversa o finversa...i)
Sol)
Ya demostré fog efectivamente es inyectiva y también... I).
Veo que esto se generaliza para enésimos términos aplicando inducción matemática. Claro que me resulto más difícil demostrar... I).
(Mi duda es): Si una o ambas de las funciones f y g pueden no ser inyectivas y sin embargo puede existir la función inversa ¿verdad? Entonces no puedo emplear... I), debido a que esta no tiene sentido entonces ¿existe una manera de representar (fog)inversa en función de f y g?
Segunda parte:
Dadas las funciones f y g, se cumple que
a)Si h=fog entonces f(x)=((h)o (g inversa)) (x), pero solamente paa los x E Domf ^ Rangg, que en general es una parte de Domf.
Nota:Este teorema nos indica que al despejar una funcionf en una composición, en general de lo que se obtiene no es toda la función f sino solamente una parte, es decir una restricción de f.
Ej: Sean f(x)=x+2, x E [0,8] ; g(x)=x-1, x E [-5,5]; si h=fog entonces h(x)=x+1, x E [1,5]=Domh. Si quiseramos despejar f de esta ecuacion veamos lo que ocurriria:
h=fog entonces h o ginversa= f o g o ginversa=f entonces f= h o ginversa cuyo dominio es Dom h o ginversa, y probaremos que coincide con Domf ^Rang g mas no con Domf
¿Quisiera una demostración del enunciado de que al despejar f se obtiene un dominio que esta incluido en el Dom f?
Tercera parte:
Sea f(x)=ax^2 + bx + c, a diferente de cero
Si la función es univalente y continua tenemos los siguientes resultados válidos referidos a los dominio y a los rangos correspondientes.
Domf entonces Ranf
Intervalo<r,s> <f(r), f(s)> ó <f(s), f(r)> Dependiendo de cual extremo es mayor.
Procediendo de la misma manera para los intervalos[r,s>;<r,s] y [r,s]
Ej1)
Calculo el rango de f(x)=( x^2) -8x +4, x E <4,8]:
Sol)
Operando observas que se cumple Rang f=<f(4), f(8)] ¿es correcto?
También sirve para funciones más complejas:
Ej2)
Calcule el rango de f(x)= (2x-5)/ (x^2 + 2x-3) , x E [2,4>:
Sol)
Efectivamente se demustra que es inyectiva entonces Ranf=[f(2),f(4)>.
¿Quisiera conocer cual es la demostración de esta propiedad?
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Si, estudié matemáticas en la universidad de Zaragoza. Dentro de las matemáticas había puras y aplicadas. Yo tonteé cogiendo asignaturas de un lado y otro. El centro bien una vez que se independizó y se hizo Facultad de Matemáticas con un edificio nuevo, antes era Facultad de Ciencias y era pequeño para Física, Química, Matemáticas y Geología.
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Primera parte
Si alguna no es inyectiva debes redefinir los dominios para que sean inyectivas y entonces la inversa de fog será como antes (inversa de g)o(inversa de f) en el dominio nuevo correspondiente.
Segunda parte.
Sea h=fog
Dom h = {x | x € Dom g; g(x) € Dom f}
Si componemos con inversa de g por la derecha
f = h o ginversa
Dom f = Dom (h o ginversa) = {x | x € Dom ginversa; ginversa(x) € Dom h} =
Sustituyendo Dom h por la expresión del conjunto calculada antes
{x | x € Dom ginversa; ginversa(x) € {x | x € Dom g; g(x) € Dom f}} =
{x | x € Dom ginversa; ginversa(x) € Dom g; g(ginversa(x)) € Dom f} =
{x | x € Dom ginversa; ginversa(x) € Dom g; x € Dom f}
Y la tercera condición del conjunto nos dice que por € Dom f.
Tercera parte.
Si, univalente y continua equivale a estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
La función f(x)=( x^2) -8x +4, x € <4,8 es univalente porque el vértice está en x=4. Con un dominio todo a la izquierda o todo a la derecha es una función univalente.
Si, pues la demostración viene de la mano de que una función univalente y continua es estrictamente creciente o decreciente. Si en algún punto se hace constante ya deja de ser univalente por repetirse el valor. Y si cambia de creciente a decreciente o viceversa, como una función continua toma todos los valores entre dos extremos, repetirá valores anteriores al máximo o mínimo relativo con posterioridad y habrá dejado de ser univalente. Luego debe ser siempre estrictamente creciente o decreciente.
Y eso es todo, espero que lo hallas entendido. Si tienes alguna duda pide más explicaciones.
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Primera parte
Si alguna no es inyectiva debes redefinir los dominios para que sean inyectivas y entonces la inversa de fog será como antes (inversa de g)o(inversa de f) en el dominio nuevo correspondiente.
Segunda parte.
Sea h=fog
Dom h = {x | x € Dom g; g(x) € Dom f}
Si componemos con inversa de g por la derecha
f = h o ginversa
Dom f = Dom (h o ginversa) = {x | x € Dom ginversa; ginversa(x) € Dom h} =
Sustituyendo Dom h por la expresión del conjunto calculada antes
{x | x € Dom ginversa; ginversa(x) € {x | x € Dom g; g(x) € Dom f}} =
{x | x € Dom ginversa; ginversa(x) € Dom g; g(ginversa(x)) € Dom f} =
{x | x € Dom ginversa; ginversa(x) € Dom g; x € Dom f}
Y la tercera condición del conjunto nos dice que por € Dom f.
Tercera parte.
Si, univalente y continua equivale a estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
La función f(x)=( x^2) -8x +4, x € <4,8 es univalente porque el vértice está en x=4. Con un dominio todo a la izquierda o todo a la derecha es una función univalente.
Si, pues la demostración viene de la mano de que una función univalente y continua es estrictamente creciente o decreciente. Si en algún punto se hace constante ya deja de ser univalente por repetirse el valor. Y si cambia de creciente a decreciente o viceversa, como una función continua toma todos los valores entre dos extremos, repetirá valores anteriores al máximo o mínimo relativo con posterioridad y habrá dejado de ser univalente. Luego debe ser siempre estrictamente creciente o decreciente.
Y eso es todo, espero que lo hallas entendido. Si tienes alguna duda pide más explicaciones.
Aun tengo dudas en la primera parte estaría bien modificar la función tal que este resulte ser inyectiva, pero no es necesario arreglarla en este caso.
Ej:
Sea f(x)=(x-1)^2 +(1) , xE[-3,3]
g(x)=x+1, 0<x<5
entonces resolviendo fog(x)=f(g(x))=(x^2)+1, para todo xE<0,2]
De aquí podemos ver que esta función es inyectiva ¿no hay una manera de expresar (fog)inversa en términos de f y g que no sea la fórmula que te mostré ya que f no es inyectiva en ese caso? Para ya no estar operando y analizando.
Un saludo
Ej:
Sea f(x)=(x-1)^2 +(1) , xE[-3,3]
g(x)=x+1, 0<x<5
entonces resolviendo fog(x)=f(g(x))=(x^2)+1, para todo xE<0,2]
De aquí podemos ver que esta función es inyectiva ¿no hay una manera de expresar (fog)inversa en términos de f y g que no sea la fórmula que te mostré ya que f no es inyectiva en ese caso? Para ya no estar operando y analizando.
Un saludo
Si, aunque una de las dos funciones no sea inyectiva en su dominio, la composición de las dos puede ser inyectiva por quedar restringido el dominio de la no inyectiva.
Pues la fórmula para la inversa de fog es (ginversa)o(finversa), yo no conozco otra forma de hacerlo y creo que no la hay. O bien eso o compones las originales primero y calculas la inversa después, pero entonces ya no te sale en función de f y g que me parece que era lo que querías.
Hay problemas que no son muy complicados pero hay que ser muy minuciosos, como este.
Pues la fórmula para la inversa de fog es (ginversa)o(finversa), yo no conozco otra forma de hacerlo y creo que no la hay. O bien eso o compones las originales primero y calculas la inversa después, pero entonces ya no te sale en función de f y g que me parece que era lo que querías.
Hay problemas que no son muy complicados pero hay que ser muy minuciosos, como este.
Si tu me dices que no hay forma de expresar en función de f o g la inversa, tampoco se puede en algo relacionado con las funciones f og, te creo.
Un saludo.
Un saludo.