Ángulos
Hola! Quisieras saber lo siguiente:
Si la fórmula para calcular el angulo entre una recta y un plano es:
sen de àng= |u.n|/|u|.|n| ,siendo u el vector director de la recta y v el vector normal del plano,y la de un àng entre dos planos es:
cos del àng=|n1.n2|/|n1|.|n2| ,siendo n1 y n2 los vectores normales
Porque el àng entre dos rectas es:
cos del àng=u1.u2/|u1|.|u2|, siendo u1 y u2 los vectores directores, sin llevar valor absoluto en el numerador como las otras dos fòrmulas?
¿O acaso las fórmulas están mal?
Desde ya muchas gracias. Un saludo enorme, Rocío.
Si la fórmula para calcular el angulo entre una recta y un plano es:
sen de àng= |u.n|/|u|.|n| ,siendo u el vector director de la recta y v el vector normal del plano,y la de un àng entre dos planos es:
cos del àng=|n1.n2|/|n1|.|n2| ,siendo n1 y n2 los vectores normales
Porque el àng entre dos rectas es:
cos del àng=u1.u2/|u1|.|u2|, siendo u1 y u2 los vectores directores, sin llevar valor absoluto en el numerador como las otras dos fòrmulas?
¿O acaso las fórmulas están mal?
Desde ya muchas gracias. Un saludo enorme, Rocío.
Respuesta de eudemo
1
Cuando se cortan dos rectas que no son perpendiculares se forman 4 ángulos:
Dos de ellos son agudos e iguales por opuestos por el vértice,
Los otros dos, también opuestos por el vértice son obtusos y suplementarios de los agudos. En definitiva, cuando hablamos del ángulo entre dos rectas no queda claro si nos referimos al ángulo agudo o al ángulo obtuso. Por ejemplo si el ángulo entre dos rectas es 50 también puede ser 180-50=130 grados. Ahora bien en general se toma el agudo.
Esta indeterminación no existe cuando se trata de vectores.
¿El? Ángulo comprendido entre vectores´´ que parten de un mismo punto se define de la siguiente manera:
´´Es la intersección del semiplano determinado por la recta de acción del primer vector que contienen al extremo del segundo vector con el semiplano determinado por la recta de acción del segundo que contiene al extremo del primero.´´
Como ves aquí no hay indeterminación ninguna y el ángulo comprendido será agudo u obtuso según las direcciones de los vectores.
Este concepto se aplica a la definición de producto escalar.
Como tu sabes el producto escalar de dos vectores es el producto de los módulos por el coseno del ángulo comprendido.
u1.u2=|u1|.|u2| . cos áng. comprendido
Donde la definición de ángulo comprendido es la anterior.
Despejando es:
cos áng. comprendido = u1.u2/|u1|.|u2|
Si el ángulo comprendido es agudo su coseno será positivo.
Si el ángulo comprendido es obtuso su coseno será negativo.
El signo del producto escalar nos dice si el ángulo es agudo u obtuso.
Tomar el módulo del producto escalar significa tomar siempre el ángulo agudo.
Respondiendo ahora a tu pregunta, en las fórmulas que me indicas tomar o no valor absoluto significa considerar o no ángulos obtusos.
Para el caso del ángulo entre planos hacemos el producto escalar de los versores normales a los planos. Geométricamente no tiene sentido considerar ángulos mayores de 90 grados.
Por eso se toma el valor absoluto del producto escalar.
Cuando se definen superficies orientadas entonces sí se pude hablar de ángulos obtusos. Para ángulos entre superficies orientadas no se toma módulo.
Lo mismo ocurre para el ángulo entre recta y plano. La fórmula nos da el coseno del ángulo que forman el versor normal y el vector director de la recta. El ángulo de la recta con el plano es el complementario del que forma con la normal al plano. Por eso el coseno se cambia por el seno. Nuevamente este ángulo no puede ser mayor a 90 grados. Tampoco puede ser negativo. Por eso que se toma el módulo del producto escalar.
Nuevamente si estamos considerando superficies y rectas orientadas entonces la fórmula se usa sin el valor absoluto, es decir con su signo. Este el caso del cálculo de flujos sobre superficies cerradas.
Finalmente con el ángulo entre rectas ocurre lo mismo, corresponde hallar el ángulo agudo y no el obtuso. Es decir que se debe tomar valor absoluto del producto escalas.
Por ejemplo si tuviéramos que:
u1.u2/|u1|.|u2|=-0,5
Significa que hay un ángulo de 150grados.
Si dos rectas forman un ángulo de 150 también forman un ángulo de 30 grados.
Si directamente hubiéramos tomado:
cos ang=|u1.u2|/|u1|.|u2|=0,5
directamente nos conduce a
ang =30 grados
Es decir que al tomar modulo hallamos directamente el de 30 grados sin pasar por el de 150grados.
Resumiendo para rectas y planos geométricos corresponde tomar valor absoluto en las tres fórmulas .
No hay que poner valor absoluto cuando buscamos ángulos entre vectores, rectas orientadas y/o superficies orientadas.
Como verás, para cualquier fórmula que utilicemos, siempre es mejor entender lo mejor posible que es lo que estamos haciendo y adaptarlo al contexto particular de cada problema.
Dos de ellos son agudos e iguales por opuestos por el vértice,
Los otros dos, también opuestos por el vértice son obtusos y suplementarios de los agudos. En definitiva, cuando hablamos del ángulo entre dos rectas no queda claro si nos referimos al ángulo agudo o al ángulo obtuso. Por ejemplo si el ángulo entre dos rectas es 50 también puede ser 180-50=130 grados. Ahora bien en general se toma el agudo.
Esta indeterminación no existe cuando se trata de vectores.
¿El? Ángulo comprendido entre vectores´´ que parten de un mismo punto se define de la siguiente manera:
´´Es la intersección del semiplano determinado por la recta de acción del primer vector que contienen al extremo del segundo vector con el semiplano determinado por la recta de acción del segundo que contiene al extremo del primero.´´
Como ves aquí no hay indeterminación ninguna y el ángulo comprendido será agudo u obtuso según las direcciones de los vectores.
Este concepto se aplica a la definición de producto escalar.
Como tu sabes el producto escalar de dos vectores es el producto de los módulos por el coseno del ángulo comprendido.
u1.u2=|u1|.|u2| . cos áng. comprendido
Donde la definición de ángulo comprendido es la anterior.
Despejando es:
cos áng. comprendido = u1.u2/|u1|.|u2|
Si el ángulo comprendido es agudo su coseno será positivo.
Si el ángulo comprendido es obtuso su coseno será negativo.
El signo del producto escalar nos dice si el ángulo es agudo u obtuso.
Tomar el módulo del producto escalar significa tomar siempre el ángulo agudo.
Respondiendo ahora a tu pregunta, en las fórmulas que me indicas tomar o no valor absoluto significa considerar o no ángulos obtusos.
Para el caso del ángulo entre planos hacemos el producto escalar de los versores normales a los planos. Geométricamente no tiene sentido considerar ángulos mayores de 90 grados.
Por eso se toma el valor absoluto del producto escalar.
Cuando se definen superficies orientadas entonces sí se pude hablar de ángulos obtusos. Para ángulos entre superficies orientadas no se toma módulo.
Lo mismo ocurre para el ángulo entre recta y plano. La fórmula nos da el coseno del ángulo que forman el versor normal y el vector director de la recta. El ángulo de la recta con el plano es el complementario del que forma con la normal al plano. Por eso el coseno se cambia por el seno. Nuevamente este ángulo no puede ser mayor a 90 grados. Tampoco puede ser negativo. Por eso que se toma el módulo del producto escalar.
Nuevamente si estamos considerando superficies y rectas orientadas entonces la fórmula se usa sin el valor absoluto, es decir con su signo. Este el caso del cálculo de flujos sobre superficies cerradas.
Finalmente con el ángulo entre rectas ocurre lo mismo, corresponde hallar el ángulo agudo y no el obtuso. Es decir que se debe tomar valor absoluto del producto escalas.
Por ejemplo si tuviéramos que:
u1.u2/|u1|.|u2|=-0,5
Significa que hay un ángulo de 150grados.
Si dos rectas forman un ángulo de 150 también forman un ángulo de 30 grados.
Si directamente hubiéramos tomado:
cos ang=|u1.u2|/|u1|.|u2|=0,5
directamente nos conduce a
ang =30 grados
Es decir que al tomar modulo hallamos directamente el de 30 grados sin pasar por el de 150grados.
Resumiendo para rectas y planos geométricos corresponde tomar valor absoluto en las tres fórmulas .
No hay que poner valor absoluto cuando buscamos ángulos entre vectores, rectas orientadas y/o superficies orientadas.
Como verás, para cualquier fórmula que utilicemos, siempre es mejor entender lo mejor posible que es lo que estamos haciendo y adaptarlo al contexto particular de cada problema.
