Hallar las ecuaciones de las rectas

Se me ocurren dos formas, una es específica para este caso y otra es general para cualquier ángulo que te den.

Vamos primero con la específica para 45º.

Tomamos el vector de la recta y el perpendicular. Por la forma que lo vamos a construir tendrán igual módulo y su suma nos dará el vector de la bisectriz de las rectas.

El vector de la recta es (B, - A) como ya hemos dicho alguna vez, luego es

v=(-3,-2)

Me gusta más que sea

v=(3, 2)

Y el vector perpendicular a un vector (a, b) es (b, -a), luego es

u =(2,-3)

también lo será

w=(-2,3)

Y como te decía antes es fundamental que tengan el mismo módulo para que la suma vectorial sea la bisectriz. El módulo es sqrt(3^2+2^2) = sqrt(13) en los tres vectores.

El primer vector será v+u y el segundo v+w

v+u = (3, 2)+(2, -3) = (5, -1)

v+w = (3,2)+(-2, 3) = (1, 5)

También podría haberse calculado solo el primero y tomar como segundo el perpendicular, ahora veo que el resultado es igual.

Bueno, pues el vector de la recta es (5, -1). Sabemos que los coeficientes A y B de la recta con ese vector director son esos números cambiados de orden y un de ellos cambiado de signo, luego la recta es

x + 5y + C = 0

Como debe pasar por (2, -1)

2+5(-1)+C = 0

C =3

Y la recta es:

x + 5y + 3 = 0

Y la otra recta tiene vector (1,5), luego es

5x - y + C = 0

Para que pase por (2,-1)

5·2 -(-1) +C = 0

C = -11

x + 5y - 11 = 0

Y nos hemos alargado bastante con las explicaciones, el otro método ya lo haremos si llega otra pregunta de este tipo. Se basa en calcular un vector (a, b) que forme 45º con el de la recta. Para ello el producto escalar deberá ser:

(3, 2)·(a, b) = |(3, 2)| · |(a, b)| cos 45º

3a+2b = sqrt(13)·sqrt(a^2+b^2) sqtr(2)/2

Elevando al cuadrado

9a^2 + 4b^2 + 12ab = (26/4) (a^2+b^2)

Una de las dos incógnitas podemos darle el valor que queramos (distinto de cero) ya que lo mismo nos dará que el resultado sea (a, b) que (a/b, 1) es un vector en la misma dirección

Hacemos entonces b = 1

9a^2 + 4 + 12a = (26/4) (a^2 + 1)

Y resolviendo esa ecuación de segundo grado hallaremos el vector o los vectores (a, 1) de la recta(s) que forma(n) 45º con la original. Pero como ya te decía o lo hacemos en otra pregunta o simplemente quedas enterado de como se haría con lo que he hecho.

Y eso es todo.