Diferencias entre diferencial y derivada

A ver si con un ejemplo puedo aclararte algo.
Si, por ejemplo, analizamos la función:
f(x)= 3 x^2 + x
en el punto x=2,
tenemos que en x=2
*la función vale 3.2^2+2=14
*la derivada vale 6.2+1=13
Entonces la recta tangente en x=2 pasa por el punto (14;2) y tiene pendiente 13.
Su ecuación es:
(y-14) = 13.(x-2)
Los valores
dy=(y-14)
dx=(x-2)
Cuyo cociente es 13 son los diferenciales.
Es decir: los diferenciales representan cualquier par de valores cuyo cociente es la derivada.
Aunque parezca mentira no tiene porqué ser pequeños.
Los incrementos o diferencias finitas delta por, delta no son diferenciales porque no siguen a la tangente sino que siguen a la función.
delta y=f(x)-14
El cociente de los incrementos o cociente incremental es:
delta y/delta x.
Y no es igual a la derivada.
Para tener la derivada hay que tomar el limite del cociente de incrementos cuando delta por tiende a cero.
En conclusión los diferenciales y los incrementos son cosas distintas. Los incrementos siguen a la función y los diferenciales siguen a la recta tangente PERO cuando son muy pequeños su diferencia es muy poca .
Para valores muy pequeños de delta por el
Delta y
Y el diferencial
Dy
Difieren muy poco entre sí.
En resumen:
El delta y
Depende de la función
El dy
Depende de la derivada.
Los diferenciales dx dy son cualquier par de valores cuyo cociente es la derivada pero en general conviene tomarlos muy pequeños.