Ecuación Dif. No Exacta a Exacta

Son exactas si cada termino derivado por la variable contraria a su diferencial es igual al otro

Si expresamos la ecuación como

M(x,y)dx + N(x,y)dy tenemos

dM(x,y)/dy = x

dN(x,y)/dx = 4x

Efectivamente no es exacta.

Entonces hay que hallar el factor integrante, que es una función que multiplicando a los dos términos hace que la ecuación sea exacta.

No sé como te lo explicara tu libro, pero el mío dice.

Sea la ecuación diferencial

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Si (dN/dx - dM/dy) / M es una función exclusiva de y, entonces el factor integrante es

u(y) = e^($ [(dN/dx - dM/dy) / M]dy)

Donde el $ simboliza la integral

También dice que si (dN/dx - dM/dy) / N es una función exclusiva de x, el factor integrante es

u(x) = e^($[(dN/dx - dM/dy)/N]dx)

En nuestro caso

(dN/dx - dM/dy)/M = (4x - x) / xy = 3x/xy = 3/y  es exclusiva de y. Por lo que

u(y) = e^($3dy/y) = e^(3ln(y)) = e^(ln(y^3)) = y^3

Ahora multiplicamos por y^3 nuestra ecuación

xy^4 dx + [2(x^2)(y^3) + 3y^5 - 20y^3] dy = 0

Veamos que ahora es exacta

dM/dy = 4xy^3

dN/dx = 4xy^3

Y se puede resolver por el método que no me acuerdo cómo es de una vez para otra.

1) Integrar M o N respecto a su variable poniendo la constante como función de la otra variable.

Obviamente integraremos M respecto x

$xy^4 dx = (1/2)(x^2)y^4 + g(y)

2) Lo derivamos respecto la variable de la función g y lo igualamos a l otro término

4(1/2)(x^2)y^3+ g'(y) = 2(x^2)(y^3) + 3y^5 - 20y^3

2(x^2)y^3+ g'(y) = 2(x^2)(y^3) + 3y^5 - 20y^3

g'(y) = 3y^5 - 20y^3

3)Integramos g'(y) respecto a su variable

$(3y^5 - 20y^3)dy = (1/2)y^6 - 5y^4 + C

4) Sustituimos este valor en lo que teníamos en el paso uno, la C al otro lado

(1/2)(x^2)y^4 + (1/2)y^6 - 5y^4 = C

(1/2)(y^4)[x^2 + y^2 - 10] = C

Y ya no se puede dejar mejor. Esa es la solución general.