Solución a un problema sobre límites en Matemáticas. Necesito hallar Delta y Epsilon.
No sé si podrías ayudarme a resolver el siguiente problema sobre limites, pero para el cual se pide la solución usando la definición de límites es decir hallando delta y epsilon.
El problema dice: demostrar que límite de {1-sqrt(x)}/{(1+x)^2} es -1/25 cuando x tiende a 4.
El inconveniente que se me presenta es al hallar el epsilon.
El problema dice: demostrar que límite de {1-sqrt(x)}/{(1+x)^2} es -1/25 cuando x tiende a 4.
El inconveniente que se me presenta es al hallar el epsilon.
Respuesta de bocasmar
1
¡Enhorabuena!...
Me has hecho una de las preguntas más complicada de todas las que me han hecho hasta ahora.
Para demostrar que el límite de
f(x) = (1-sqrt(x))/(1+x)^2, cuando x->4 es L=-1/25, es necesario demostrar que para todo epsilon>0 es posible encontrar un lambda>0 (si hay realmente límite será posible encontrar infinitos lambdas. con encontrar uno ¡vale!) tal que cuando |x-4| < lambda se cumpla que | f(x) -L|<epsilon.
EL método usual en encontrar una estrategia para partir de |f(x)-L| y mediante acotaciones sucesivas llagar a una cadena de acotaciones de la forma:
|f(x)-L| < ...<...< A*|x-4|.
Con lo cual dado un épsilon, se toma un lambda = epsilon/A y, con ello, se tiene la seguridad de que cuando |x-4| < lambda se tiene la seguridad de que | f(x) -L|<epsilon.
En este problema hay que empezar por buscar acotaciones a la expresión:
|f(x) -L | =
|(1-sqrt(x))/(1+x)^2 + 1/25 | =
|[25*(1-sqrt(x))+(1+x)^2]/[25*(1+x)^2]|
La primera acotación se hace teniendo en cuenta que el denominador de esta expresión es [25*(1+x)^2] siempre mayor que la unidad por tanto:
|[25*(1-sqrt(x))+(1+x)^2]/[25*(1+x)^2] | < | 25*(1-sqrt(x)) + (1+x)^2 |
Y ahora hay que tratar de hacer nuevas acotaciones sucesivas de la expresión conseguida aprovechando las propiedades de las desigualdades.
Desgraciadamente en este caso no es posible encontrar relaciones útiles y hay que utilizar otros medios.
La forma de hacerlo es algo complicada y necesita que me sigas el razonamiento con mucho cuidado.
1. La función
g(x) = 25*(1-sqrt(x)) + (1+x)^2 toma el valor cero en x=4. Además, dentro del intervalo [3,5] (usar este intervalo es un detalle técnico que luego te comento) siempre toma valores finitos y su pendiente está acotada en ese intervalo. En ese caso es posible encontrar dos rectas
r1(x) = M*(x-4) y r2(x)= -M*(x-4) (como siempre si encuentras dos. encuentras infinitas) tales que para todo x del intervalo [3,5] se tenga que
r1(x)<=g(x)<=r2(x) ó r1(x)<=g(x)<=r2(x). La igualdad se da en x=4 pues
r1(4)=r2(4)=0.
La cuestión es encontrar ese valor de M.
Una buena opción es elegir un valor de M que sea superior, en valor absoluto, al de la pendiente de la función g(x) en todos los puntos del intervalo [3,5].
2.- Para ello hay que estudiar el valor del la pendiente de la función g(x) en el intervalo [3,5]. Eso se hace mediante su derivada primera
g'(x) = -25/[2*sqrt(x)] + 2(1+x) y su derivada segunda
g''(x) = 25/[4*x^(3/2)] + 2.
La función g''(x) es siempre positiva en [3,5] eso indica que la función g'(x) es creciente de [3,5].
Teniendo en cuenta que
g'(3) = -25/[2*sqrt(3)] + 8 aproximadamente 0.7831
y que g'(5) = -25/[2*sqrt(5)] + 12 aproximadamente 6.41, se tiene que tomando M=7 está asegurado que
r1(x)<=g(x) <=r2(x) ó
r1(x)<=g(x) <=r2(x) en todo el intervalo [3,5]. Y por estar comprendida entre ambas y ser las rectas una positiva y otra negativa, en cada punto, con |r1(x)| =|r2(x)|, se tiene que | g(x)| <= |r1(x)|= |r2(x)|=|M|*|x-4| = 7|x-4|.
3. Por tanto en el intervalo [3,5] se cumple que
|g(x)|=|25*(1-sqrt(x))+(1+x)^2|<=7|x-4|.
4. Entonces dado epsilón>0 existe un lambda = mínimo de {1,epsilon/7} (este es el detalle técnico. si ocurre que epsilon/7 es mayor que 1 se toma lambda=1 -con lo que también se cumple que lamba <= epsilon/7- para estar dentro del intervalo [3,5] . Esto no suele ocurrir pues epsilon suele ser mucho más pequeño que 1 y epsilon/7 mucho más pequeño todavía), talque si |x-4|<lambda <= epsilon/7 se tiene que:
|f(x) -L | =
|(1-sqrt(x))/(1+x)^2 + 1/25 |<
| 25*(1-sqrt(x)) + (1+x)^2 |<=
7|x-4| <= 7*epsilon/7 = epsilon.
Por tanto el límite de
f(x) = (1-sqrt(x))/(1+x)^2, cuando x->4 es L=-1/25.
Me has hecho una de las preguntas más complicada de todas las que me han hecho hasta ahora.
Para demostrar que el límite de
f(x) = (1-sqrt(x))/(1+x)^2, cuando x->4 es L=-1/25, es necesario demostrar que para todo epsilon>0 es posible encontrar un lambda>0 (si hay realmente límite será posible encontrar infinitos lambdas. con encontrar uno ¡vale!) tal que cuando |x-4| < lambda se cumpla que | f(x) -L|<epsilon.
EL método usual en encontrar una estrategia para partir de |f(x)-L| y mediante acotaciones sucesivas llagar a una cadena de acotaciones de la forma:
|f(x)-L| < ...<...< A*|x-4|.
Con lo cual dado un épsilon, se toma un lambda = epsilon/A y, con ello, se tiene la seguridad de que cuando |x-4| < lambda se tiene la seguridad de que | f(x) -L|<epsilon.
En este problema hay que empezar por buscar acotaciones a la expresión:
|f(x) -L | =
|(1-sqrt(x))/(1+x)^2 + 1/25 | =
|[25*(1-sqrt(x))+(1+x)^2]/[25*(1+x)^2]|
La primera acotación se hace teniendo en cuenta que el denominador de esta expresión es [25*(1+x)^2] siempre mayor que la unidad por tanto:
|[25*(1-sqrt(x))+(1+x)^2]/[25*(1+x)^2] | < | 25*(1-sqrt(x)) + (1+x)^2 |
Y ahora hay que tratar de hacer nuevas acotaciones sucesivas de la expresión conseguida aprovechando las propiedades de las desigualdades.
Desgraciadamente en este caso no es posible encontrar relaciones útiles y hay que utilizar otros medios.
La forma de hacerlo es algo complicada y necesita que me sigas el razonamiento con mucho cuidado.
1. La función
g(x) = 25*(1-sqrt(x)) + (1+x)^2 toma el valor cero en x=4. Además, dentro del intervalo [3,5] (usar este intervalo es un detalle técnico que luego te comento) siempre toma valores finitos y su pendiente está acotada en ese intervalo. En ese caso es posible encontrar dos rectas
r1(x) = M*(x-4) y r2(x)= -M*(x-4) (como siempre si encuentras dos. encuentras infinitas) tales que para todo x del intervalo [3,5] se tenga que
r1(x)<=g(x)<=r2(x) ó r1(x)<=g(x)<=r2(x). La igualdad se da en x=4 pues
r1(4)=r2(4)=0.
La cuestión es encontrar ese valor de M.
Una buena opción es elegir un valor de M que sea superior, en valor absoluto, al de la pendiente de la función g(x) en todos los puntos del intervalo [3,5].
2.- Para ello hay que estudiar el valor del la pendiente de la función g(x) en el intervalo [3,5]. Eso se hace mediante su derivada primera
g'(x) = -25/[2*sqrt(x)] + 2(1+x) y su derivada segunda
g''(x) = 25/[4*x^(3/2)] + 2.
La función g''(x) es siempre positiva en [3,5] eso indica que la función g'(x) es creciente de [3,5].
Teniendo en cuenta que
g'(3) = -25/[2*sqrt(3)] + 8 aproximadamente 0.7831
y que g'(5) = -25/[2*sqrt(5)] + 12 aproximadamente 6.41, se tiene que tomando M=7 está asegurado que
r1(x)<=g(x) <=r2(x) ó
r1(x)<=g(x) <=r2(x) en todo el intervalo [3,5]. Y por estar comprendida entre ambas y ser las rectas una positiva y otra negativa, en cada punto, con |r1(x)| =|r2(x)|, se tiene que | g(x)| <= |r1(x)|= |r2(x)|=|M|*|x-4| = 7|x-4|.
3. Por tanto en el intervalo [3,5] se cumple que
|g(x)|=|25*(1-sqrt(x))+(1+x)^2|<=7|x-4|.
4. Entonces dado epsilón>0 existe un lambda = mínimo de {1,epsilon/7} (este es el detalle técnico. si ocurre que epsilon/7 es mayor que 1 se toma lambda=1 -con lo que también se cumple que lamba <= epsilon/7- para estar dentro del intervalo [3,5] . Esto no suele ocurrir pues epsilon suele ser mucho más pequeño que 1 y epsilon/7 mucho más pequeño todavía), talque si |x-4|<lambda <= epsilon/7 se tiene que:
|f(x) -L | =
|(1-sqrt(x))/(1+x)^2 + 1/25 |<
| 25*(1-sqrt(x)) + (1+x)^2 |<=
7|x-4| <= 7*epsilon/7 = epsilon.
Por tanto el límite de
f(x) = (1-sqrt(x))/(1+x)^2, cuando x->4 es L=-1/25.
Gracias por tu respuesta, pero hay una cuestión que no comprendo, es sobre la pendiente de g(x).
Lo que pasa es que hasta donde yo he aprendido (disculpa mi ignorancia si me equivoco), pendiente sólo tienen las funciones de la forma ax + b, y como dicha función tiene un exponente 2, allí es donde me confundo.
Espero puedas atender esta cuestión y gracias de antemano.
Lo que pasa es que hasta donde yo he aprendido (disculpa mi ignorancia si me equivoco), pendiente sólo tienen las funciones de la forma ax + b, y como dicha función tiene un exponente 2, allí es donde me confundo.
Espero puedas atender esta cuestión y gracias de antemano.
Entiendo tu dificultad.
Al tomar una recta (la ecuación y=ax+b es una recta) se llama pendiente al coeficiente "a". Este coeficiente indica el "grado de inclinación" de la recta.
En el caso de una función cualquiera
g(x) y un punto concreto x0 se llama "pendiente de esa función g(x)" en ese punto a la pendiente que tendría la recta tangente a la gráfica de g(x) en ese punto x0.
Lo más "bonito", interesante de esta cuestión es que el valor de la pendiente de esa recta tangente en ese punto es precisamente el valor de l derivada de g(x) en el punto x0, esto es g'(x0).
La recta tangente a la gráfica de g(x) en el punto (x0, g(x0)) tine como ecuación y=g'(x0) + A (donde A es u número que en este caso no tiene importancia).
Etsta idea asignar como valor de la pendiente de una función g(x), en un punto x0, el valor de la pendiente de su recta tangente es una de las ideas fundamentales del cálculo diferencial.
Al tomar una recta (la ecuación y=ax+b es una recta) se llama pendiente al coeficiente "a". Este coeficiente indica el "grado de inclinación" de la recta.
En el caso de una función cualquiera
g(x) y un punto concreto x0 se llama "pendiente de esa función g(x)" en ese punto a la pendiente que tendría la recta tangente a la gráfica de g(x) en ese punto x0.
Lo más "bonito", interesante de esta cuestión es que el valor de la pendiente de esa recta tangente en ese punto es precisamente el valor de l derivada de g(x) en el punto x0, esto es g'(x0).
La recta tangente a la gráfica de g(x) en el punto (x0, g(x0)) tine como ecuación y=g'(x0) + A (donde A es u número que en este caso no tiene importancia).
Etsta idea asignar como valor de la pendiente de una función g(x), en un punto x0, el valor de la pendiente de su recta tangente es una de las ideas fundamentales del cálculo diferencial.
