Hallar la ecuación de una recta en la forma normal

La ecuación en forma normal de una recta

Ax + By + C = 0

se obtiene dividiendo por sqrt(A^2+B^2)

(Ax + By + C) / sqrt(A^2+B^2) = 0

Ax/sqrt(A^2+B^2) + By/sqrt(A^2+B^2) + C/sqrt(A^2+B^2) = 0

Esto nos daría una recta de la forma:

rx + sy + t = 0

Pero si nos fijamos tenemos

t = C/sqrt(A^2+B^2)

eso es la distancia de la recta al punto (0,0) pues salvo por el signo es

|A·0 + B·0 + C| / sqrt(A^2+B^2)

Y con respecto al ángulo sabemos que la tangente de la recta es - B/A

R = A / sqrt(A^2 + B^2) es el coseno del ángulo de un triángulo réctangulo con cateto adyacente A y opuesto B

s = B/ sqrt(A^2 + B^2) es el seno de es mismo ángulo

-s/r = -B/A tg(angulo de la recta).

Como s y r son seno y coseno, son el seno y el coseno del -angulo de la recta.

Bueno, todo eso era teoría que para entenderla bien habría explicarla mejor.

El resumen es este. En una recta en forma normal:

1) El coeficiente de la x es el coseno del ángulo de la recta con el eje OX+

2) El coeficiente de la y es el seno del angulo de la recta con el eje OX+

3) El valor absoluto del coeficiente suelto es la distancia de la recta al punto (0,0)

Se supone que lo que te han dado es el ángulo w de la recta = 60º y la distancia al origen p=6. Luego la ecuación de la recta en forma normal es

x·cosw + y·senw + 6 = 0

No esta muy claro el enunciado, creo que también podría servir

x·cosw + y·senw - 6 = 0

Que es la otra recta que también está a distancia 6 del origen con la misma pendiente.

x/2 + sqrt(3)y/2 + 6 = 0

x/2 + sqrt(3)y/2 - 6 = 0

Dependiendo del enunciado exacto o de cómo los estéis haciendo así habrá una o dos respuestas.

Y eso es todo.