Presentación y consulta
Primero presentarme a esta comunidad que me han aconsejado. Gracias por agregarme! ;)
Y aquí va mi primera consulta:
Tengo que determinar la posición de un punto P perteneciente a la parábola y=x^2 para que el área del triangulo que forma este con la recta y=mx+b (que corta a la parábola en dos puntos), sea máxima...
¿Alguna propuesta?
Gracias!
Y aquí va mi primera consulta:
Tengo que determinar la posición de un punto P perteneciente a la parábola y=x^2 para que el área del triangulo que forma este con la recta y=mx+b (que corta a la parábola en dos puntos), sea máxima...
¿Alguna propuesta?
Gracias!
Respuesta de muck
1
Leí tu pregunta hace tiempo; pero como no recuerdo bien el tema no quise contestarte. La verdad que esto de maximizar me queda bastante lejos y no sé muy bien dónde buscar; pero yo te voy a intentar contestar aunque no te fíes demasiado de mi respuesta.
Vamos a ver, si dices que la parábola y la recta se cortan fijo en dos puntos, entonces tomamos esta longitud como la base del triángulo, es decir, esta longitud es fija e independiente del punto que escojamos.
Ahora tenemos un punto de la parábola y este punto, por estar en la parábola, tiene que ser de la forma (x, x^2).
El área de un triángulo es base por altura partido por 2. Como la base y el 2 son fijos y no dependen del punto tenemos que fijarnos en la altura.
La altura es la distancia entre el punto que buscamos y la base. Como conocemos la ecuación de la base podemos aplicar la fórmula de distancia de un punto a una recta.
Escribimos la ecuación de la recta de la forma Ax+By+C=0, es decir: mx-y+b=0. Por tanto A=m, B=-1 y C=b. El punto es (x, x^2) y en la siguiente fórmula se corresponde con (a,b).
La fórmula de la distancia de un punto a una recta es:
|Aa+Bb+C|/ raíz(A^2+B^2). El denominador es fijo también y no depende del punto, luego tenemos que estudiar el numerador, que sustituyendo es:
Mx-x^2+b y es mayor o igual que cero (evidenetemente las x que hacen esto cero no nos valen ya que coinciden con los puntos interesección de la recta y la parábola y entonces no tenemos triángulo).
Esta función representa una parábola invertida, por tanto, si derivamos e igualamos a cero obtenemos su valor máximo, es decir, tenemos que resolver la ecuación:
m-2x=0 ; x=m/2
Luego el punto que buscamos es (m/2 ; (m^2)/4)
Yo creo que está bien hecho así; aunque es muy probable que haya otra manera algo más sencilla.
Vamos a ver, si dices que la parábola y la recta se cortan fijo en dos puntos, entonces tomamos esta longitud como la base del triángulo, es decir, esta longitud es fija e independiente del punto que escojamos.
Ahora tenemos un punto de la parábola y este punto, por estar en la parábola, tiene que ser de la forma (x, x^2).
El área de un triángulo es base por altura partido por 2. Como la base y el 2 son fijos y no dependen del punto tenemos que fijarnos en la altura.
La altura es la distancia entre el punto que buscamos y la base. Como conocemos la ecuación de la base podemos aplicar la fórmula de distancia de un punto a una recta.
Escribimos la ecuación de la recta de la forma Ax+By+C=0, es decir: mx-y+b=0. Por tanto A=m, B=-1 y C=b. El punto es (x, x^2) y en la siguiente fórmula se corresponde con (a,b).
La fórmula de la distancia de un punto a una recta es:
|Aa+Bb+C|/ raíz(A^2+B^2). El denominador es fijo también y no depende del punto, luego tenemos que estudiar el numerador, que sustituyendo es:
Mx-x^2+b y es mayor o igual que cero (evidenetemente las x que hacen esto cero no nos valen ya que coinciden con los puntos interesección de la recta y la parábola y entonces no tenemos triángulo).
Esta función representa una parábola invertida, por tanto, si derivamos e igualamos a cero obtenemos su valor máximo, es decir, tenemos que resolver la ecuación:
m-2x=0 ; x=m/2
Luego el punto que buscamos es (m/2 ; (m^2)/4)
Yo creo que está bien hecho así; aunque es muy probable que haya otra manera algo más sencilla.
Creo que me voy a inventar una recta y así no trabajaré con tanta variable para ver si me aclaro un poco con el problema...
Más o menos es como tu dices como lo había intentado, pero al calcular la distancia, primero calculé el punto de intersección entre una recta imaginaria que coincide con la altura (h) y la base del triangulo (formada por los puntos de intersección de la recta y la parábola). Una vez obtenido ese punto, calculé la distancia de punto a punto... pero vamos, que es lo mismo, pero me sale una altura (h) demasiado compleja... por eso la idea de usar una función inventada para verlo algo más claro. Gracias!
Más o menos es como tu dices como lo había intentado, pero al calcular la distancia, primero calculé el punto de intersección entre una recta imaginaria que coincide con la altura (h) y la base del triangulo (formada por los puntos de intersección de la recta y la parábola). Una vez obtenido ese punto, calculé la distancia de punto a punto... pero vamos, que es lo mismo, pero me sale una altura (h) demasiado compleja... por eso la idea de usar una función inventada para verlo algo más claro. Gracias!
Claro, es lo mismo usar la distancia de un punto a otro que la distancia de un punto a una recta. Lo que pasa que como lo hiciste tú es más complicado. La idea del problema es que hay que maximizar la función que sale con la fórmula del triángulo, con lo que te hace falta una base y una altura.
