¿Cómo se obtienen las ecuaciones de la parábola?

La parábola es una cónica, la curva intersección de un cono de doble hoja con un plano, en concreto cuando este plano es paralelo a una generatriz de ese cono.
Esa es la definición original, de ella se han deducido a lo largo de la historia mil propiedades y formas de trazar la parábola y otras cónicas.
La que más se utiliza hoy en día en los estudios secundarios es:
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada, llamada directriz, y a un punto fijo que se denomina foco.
No hay una forma única para deducir la ecuación pero esta la he visto repetida en varios sitios. Consiste en que el vértice sea el punto (0, 0) el eje de simetría sea OX y sea p la distancia entre la recta directriz y el foco. La recta directriz es perpendicular a OX y con ecuación x=-p/2 y las coordenadas del foco son (p/2, 0).
La distancia de un punto (x, y) al foco será sqrt((x-p/2)^2+y^2)
La distancia de un punto (x,y) a la recta directriz es x-(-p/2) = x+p/2
Ambas distancias deben ser iguales por la definición. En vez de igualarlas directamente elevaremos ambas cantidades al cuadrado para quitarnos la incomoda raíz cuadrada
(x-p/2)^2+y^2 = (x + p/2)^2
x^2 + (p^2)/4 - px + y^2 = x^2 + (p^2)/4 + px   ahora simplificamos
-px + y^2 = px
y^2 = 2px
                           /------------------------------------------------/
Considera lo que viene como apéndices.
No cuesta nada deducir que si la parábola tiene el eje de simetria en OY la ecuación es:
x^2 = 2py
Y tampoco cuesta nada deducir la ecuaciones cuando el vértice es un punto cualquiera (a, b). Haciendo la traslació:
(y-b)^2 = 2p(x-a)  o  (x-a)^2 = 2p(y-b)
Puede que se salga de los estudios básicos pero veamos la ecuación general con cualquier vertice (p,q) y cualquier recta directriz Ax+By+C=0
Solo nos falta por saber, si no lo sabemos, que la distancia de un punto (x, y) a esa recta es |Ax+By+C| / sqrt(A^2+B^2). Igualando el cuadrado de las distancias tenemos:
(x-p)^2 + (y-q)^2 = (Ax+By+C)^2 / (A^2 +B^2)
No vamos a simplificar nada operando, luego mejor la dejamos así.
Y eso es todo, espero que lo hallas entendido y te sirva. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.