Álgebra : vectores

Se iguala a cero cuando son linealmente dependientes lo que debes hacer es igualar a cero y determinar que el sistema es inconsistente es decir no puedes hallar una terna de parámetros que obtengan el vector nulo.
a(1,-1,-1)+b(2,0,-3)+c(-1,-3,3)= 0 el sistema debe ser inconsistente para que sea una base, si tienes alguna duda me preguntas otra vez

Hola ... ¿entonces qué sea inconsistente significa que no puede ser una base?
Y por tanto la dimensión sería :¿3?
Gracias.

Hago la aclaración si el sistema es inconsistente es linealmente independiente entonces si seria una base caso contrario no lo seria.
No olvides cerrar la pregunta o si tienes duda me consultas otra vez.

Se podría expresar así:
(0,0,0)= x(1,-1,-1)+ y (2,0,-3)
x  +y   -1z=0
-1         -3z=0
-2x-3y+3z=0    ------------>  se resuelve el sistema y el valor que obtenga para x, y z  , será  una base  del sistema generador...es correcto?
Gracias.

Te explico el objetivo es que debes resolver el sistema de la siguiente forma:
x  +  2y - z = 0 Primeras componentes
-x          - 3z = 0 Segundas componentes
-x-3y + 3z = 0 Terceras componentes.
Si resuelves el sistema obtienes x=Y=z=0 (me corrijo no debi decir inconsistente sino una solucion trivial) entonces los vectores son linealmente independientes y forman una base (1,-1,-1); (2,0,-3):(-1,-3,3).
Si obtenías otros valores para x; y y z hubieras concluido lo contrario. Igual por aquí estoy si quieres consultar.

El sistema me da lo siguiente:
1ªfila *(-1) +2ªfila  y 1º fila*2 + 3ºfila :                          1       1       -1 
                                                                                       0 -1 -2
                                                                                       0 -1 +1
1ª fila + 3ª fila: 1 1 -1
                            0 -1 -2
                             0      0         0
y por tanto queda el sistema: x  +y   -z=0
                                                     -y   -2z=0  ------> sistema compatible indeterminado
si y=-2a; x= -y+z ---->x= 2a+a ----> x=3a
y me queda : x=3a; y=-2a; z=a  (a es un número real arbitrario)
(0,0,0) = 3( 1,-1,-1)-2 (2,0,-3)+(-1,-3,3) es esto correcto?

No esta bien el concepto el sistema no es el que me muestras. El problema se plantea así tu tienes los vectores:
u=(1,-1,-1); v=(2,0,-3):w=(-1,-3,3).
Entonces debe ocurrir lo siguiente:
x u + y v + z w = 0. Entonces se forma el siguiente sistema:
x  +  2y - z = 0  Primeras componentes
-x          - 3z = 0  Segundas componentes
-x-    3y + 3z = 0  Terceras componentes
Para resolverlo puedes hacer lo siguiente:
1 2 -1 0
-1 0 -3 0
-1    3      3     0      Fila 2 = Fila2 + Fila1  Fila 3 = Fila 3 + Fila 1
1 2 -1 0
0 2 -4 0
0    5     2     0        Fila 3 = Fila3  +   5/2*Fila 1
1 2 -1 0
0 2 -4 0
0 0 -0.5 0
Entonces -0.5z=0    entonces z= 0
Reemplazas 2y - 4(0) = 0   y=0 igual para x=0
El sistema tiene soluciones triviales (pues todas son ceros) entonces los vectores u, v y w son independientes y forman una base.
Saludos y espero que te te sirva la explicación

Si, me ha servido de mucho tu respuesta. Ya veo ... si se iguala a cero ... cualquier vector multiplicado por cero da cero, por tanto al no obtener un valor distito de cero indica que tales vectores son independientes.
Lo que no veo es por qué en el enunciado de la cuestión dice que se halle una base ... si ya la dan y la dimension al estar en R3 es 3.
Gracias.

Entiendo tu pregunta te piden hallar una base pero no creo que sea a partir de los tres vectores pues si calculo un cuarto vector en R3 este sera dependiente de los originales. Me parece que puedes hallar otra base eligiendo dos de esos vectores y haciendo producto vectorial de estos así los dos y el resultado serian una base. Si puedes enviame el enunciado original de tu problema.

Hola,
El enunciado dice: Hallar una base y la dimensión del subespacio de R^3 generado por:
(1,-1,-1); (2,0,-3) ;(-1,-3,3).
Si elijo 2 vectores: 2º y 32º y los multiplico obtengo: (-2,0,-9)
Por tanto : (-2,0,-9); (2,0,3); (-1,-3,3) seria otra base del espacio vectorial de dimensión 3. ... ¿es correcto?