Determinar bases para los subespacios
Tengo este ejercicio y me piden determinar bases para unos subespacios de R3. ¿Podrías explicarme que puedo hacer?
Aquí el enlace:
1 respuesta
a) El plano es un espacio vectorial de dimensión 2, la base tendrá 2 elementos.
Sabemos que el vector director de un plano es perpendicular a los vectores del plano, luego bastara que encontremos dos vectores perpendiculares linealmente independientes al vector director.
Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es 0
El vector director es (3, -2, 5)
Sea (a, b, c) un vector perpendicular
(3, -2, 5)·(a, b, c) = 3a -2b + 5c = 0
tomemos c=0 por ejemplo
3a - 2b = 0
tomamos a=2 y b=3 y se cumple, luego un vector de la base será
b1=(2,3,0)
Para el segundo vector tomemos b=0
3a+5c= 0
tomamos a = 5 y c=-3 para que se cumpla y el segundo vector de la base es
b2=(5, 0, -3)
Luego la base es B = {(2, 3, 0), (5, 0, -3)}
b) Ya viste antes el argumento de los vectores perpendiculares al vector director. Siendo lo mismo se puede enfocar de otra manera. Si encontramos 3 puntos no colineales del plano podemos encontrar dos vectores del plano.
En el plano x-y = 0 tenemos estos puntos que se encuentran con facilidad
(0,0,0), (0,0,1), (1,1,0)
Y tomamos los vectores que van de primero a segundo y primero a tercero
b1=(0,0,1) - (0,0,0) = (0,0,1)
b2=(1,1,0) - (0,0,0) = (1,1,0)
c) La recta es un espacio vectorial de dimensión 1, basta hallar su vector director. En una ecuación paramétrica el vector director se compone con los coeficientes del parámetro.
B={(2,-1,4)}
d) La coordenada b toma un valor obligado por las coordenadas a y c.
El espacio que nos dicen no es todo R3, luego debe tener dimensión 0,1,2
Dimensión 0 no tiene porque tiene el elemento (1, 1, 0) por ejemplo
Dimensión 1 tampoco porque tiene ese elemento anterior y el (0,1,1) que es independiente
Luego tendrá dimensión 2.
Y precisamente ya hemos dado dos vectores linealmente independientes, luego forman una base
B={(1,1,0), (0,1,1)}
Y eso es todo.
valeroasm tengo 2 dudas:
1. cuando dices que el vector director de un plano es perpendicular a los vectores del plano, me confundes, porque estoy entendiendo que el vector director de un plano es igual que el vector normal del mismo, son estos vectores iguales, y si no es asi entonces en que se diferencian, si puedes explicarlo con un ejemplo. mejor.
2. en el inciso d) porque El espacio que nos dan en el ejercicio no es todo R3, por que debe tener dimensión 0,1,2 es porque la segunda componente es dependiente de la primera y tercera? cual es la razón.
1) Un vector normal y perpendicular tienen el mismo significado. Se pueden usar las dos palabras para decirlo.
2) Si, no puede ser todo R3 porque la segunda coordenada depende la primera y la tercera.
Nos dice, todos los vectores de la forma (a,b,c) donde b=a+c
Fijate en el simple vector (1,1,1) este vector no pertenece a ese subespacio ya que b es distinto de a+c, luego ya tienes un elemento que no pertenece y los puedes encontrar a patadas.
Luego el subespacio ese no puede ser R3.
Y eso es todo.
