Responde verdadero o falso según corresponda
¿Me ayudan tengo dudas con estas preguntas me la pueden explicar?
la pregunta anterior descartala .
Responder con verdadero o falso
1) el conjunto s ={(x, y, z)/ x^2 + y^2 = 0)} es un subespacio vectorial en R^3
2) Si en R^5 tomo 4 vectores linealmente independiente, entonces estos generan un hiperplano en R^5.
3) Una recta que pasa por el origen en R^3, es un subespacio con de dimensión uno.
4)Si F y G son subespacio vectorial de un espacio vectorial entonce F intersección G; F +G son un subespacio vectorial de V.
5) Dos subespacio forman una suma directa, si su intersección tiene dimensión cero.
6) Si dos espacio son generados por distintas cantidades de vectores, entonces no pueden tener la misma dimensión.
7)Si tomo en R^4 tres vectores linealmente independiente, entonces estos vectores generan en R^4.
8) si S= {(a+c, a-b, b+c,0)/ a,b,c"R} entonces dimensión S = 3.
9) Si (u, v) general un plano en R^3 son linealmente independiente.
1 Respuesta
1) Los subespacios vectoriales de R3 que son el punto (0,0,0) o una recta pasando por (0,0,0) o un plano que pase por (0,0,0).
Como x^2+y^2 = 0 implica
x=0
y=0
Esto es la intersección de dos planos y es el eje Z que si es un subespacio vectorial.
Luego la respuesta es verdadero.
Otra forma de demostrarlo es por el teorema de caracterización. Dados u y v vectores del conjunto y a y b escalares del cuerpo debe cumplirse:
au+bv pertenece al subconjunto
sea u=(x,y,z) tal que x^2+y^2=0
sea v=(r,t,s) tal que r^2+s^2=0
au+bv = (ax+br, ay+bt, az+bs)
(ax+br)^2 + (ay+bt)^2 =
a^2x^2+b^2r^2+ 2axbr + a^2y^2+b^2t^2 + 2aybt =
a^2(x^2+y^2) + b^2(r^2+s^2) + 2ab(xr+yt) =
0 + 0 + 2ab(xr+yt) =
pero de las ecuación x^2+y^2=0 se deduce x=y=0
igualmente de r^2+s^2=0 se deduce r=s=0
= 2ab(0·0+0·0) = 0
Luego au+bv € al conjunto y es un subespacio vectorial.
2) Verdadero. Cuatro vectores linealmente independientes generan un subespacio de dimensión 4 que es un hiperplano en R5.
3) Verdadero. Una recta pasando por el origen tiene como ecuación vectorial
r: (0,0,0) + t(u,v,w)
r: t(u,v,w)
Que es el espacio vectorial generado por el vector (u, v, w)
4) F n G es un subespacio vectorial.
F+G también es un subespacio vectorial
5) Verdadero, asi lo dice la definción.
6) Falso, un sistema genrador puede tener n elementos pero generar un espacio vectorial de dimensión menor que n si tiene vectores linealmente dependientes. Con ello puede haber espacios de igual dimensión aunque su sitema generador tenga distinto número de elementos.
7) Falso, tres vectores independientes generaran un espacio de dimensión 3 y R4 tiene dimensión 4
8) si S= {(a+c, a-b, b+c,0)/ a,b,c"R} la dimension es 3
Falso, la dimensión es 2, la tercera componente no es libre es el valor de la primera menos la segunda
a+c -(a-b) = a+c-a+b = c-b
9) Verdadero. Un plano tiene dimensión 2, luego si gneran un plano deben ser independientes. Si no lo fuesen generarían un espacio de dimension 1.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Por favor, las preguntas con tantos apartados que alguno no es tan obvio mándalas en varias preguntas.
