Problemas de Probabilidad Condicional
Que tal espero que me puedan ayudar con estos dos problemas que tengo:
1.- En un experimento se sabe que P(A)=1/2, P(B)=1/2 y P(A/B)=2/3. Calcule a)P(AnB), b) P(A'nB'), c)P(A'uB'), d)P(A'nB)
2.-Un profesor realizo una encuesta entre sus alumnos, identificó los siguientes eventos: A1:El alumno lleva la materia de derecho, A2: El alumno no lleva la materia de derecho, B1: El alumno aprobó el curso, B2: El alumno no aprobó el curso. Si se sabe que: P(A2)=0.30, P(B1)=0.80, P(B2/A2)=0.60, determine a) P(A1/B1), b) P(B1/A2).
1.- En un experimento se sabe que P(A)=1/2, P(B)=1/2 y P(A/B)=2/3. Calcule a)P(AnB), b) P(A'nB'), c)P(A'uB'), d)P(A'nB)
2.-Un profesor realizo una encuesta entre sus alumnos, identificó los siguientes eventos: A1:El alumno lleva la materia de derecho, A2: El alumno no lleva la materia de derecho, B1: El alumno aprobó el curso, B2: El alumno no aprobó el curso. Si se sabe que: P(A2)=0.30, P(B1)=0.80, P(B2/A2)=0.60, determine a) P(A1/B1), b) P(B1/A2).
1 Respuesta
Respuesta de Fran José García
1
Este también es muy fácil
1. Sabemos que P(A) = P(B) = 1/2 y que P(A/B) = 2/3. Además sabemos que P(A/B) = P(A;B)/P(B) donde ";" representa la intersección.
a) ¿P(A;B)?
Únicamente tenemos sustituir en la expresión de la probabilidad condicionada o utilizar el teorema de multiplicación, pero lo vamos a hacer desde el primero
P(A/B) = P(A;B)/P(B) despejamos la intersección
P(A;B)=P(B)·P(A/B) sustituimos los valores que conocemos
P(A;B)=1/2 * 2/3 = 2/6
b)¿P(A';B')?
Aquí vamos a utilizar una de las leyes de Morgan, que nos dicen que el complementario de la unión de dos sucesos es la intersección de los complementarios, es decir, (A U B)' = (A' ; B') y también usamos que P(A') = 1 - P(A)
Así que sabemos que
P(A';B') = P(A U B)' = 1 - P(A U B) = 1 - [P(A)+P(B)-P(A;B)] = 1 - [1/2 + 1/2 - 2/6] = 2/6
c)¿P(A' U B')?
Aquí usamos otra ley de Morgan que dice que dados dos sucesos la unión de sus complementarios es igual al complementario de la intersección, es decir, (A;B)' = A' U B'
entonces
P(A' U B') = P(A ;B)' = 1- P(A;B) = 1 - 2/6 = 4/6
d)¿P(A';B)?
Para este vamos a utilizar dos resultados, el primero el teorema de multiplicación de probabilidades para dos sucesos no independientes, que dice: P(A;B) = P(A)P(B/A) o P(A;B) = P(B)P(A/B), en nuestro caso usaremos P(A';B) = P(B)P(A'/B).
También vamos a usar que P(A'/B) = 1- P(A/B)
Así que vamos a emprezar
P(A';B) = P(B)P(A'/B) = P(B) (1-P(A/B)) sustituimos valores que conocemos y tenemos
P(A';B) = P(B) (1-P(A/B)) = (1/2)·(1-2/3) = (1/2)·(1/3) = 1/6
2. Sabemos que P(A2)=0.3, P(B1) = 0.8 y que P(B2/A2)=0.6
Además por la definición de los sucesos sabemos que A1 = A2' y que B2 = B1'
es decir los sucesos son complementarios.
a) ¿P(A1/B1)?
Este ejercicio es un poco más complicado, pero no mucho.
P(A1/B1) = P(A1;B1)/P(B1) para saber cuanto vale lo único que debemos calcular es saber cuanto vale la intersección de A1 y B1.
Sabemos que P(A1;B1) = 1-P(A1;B1)' y que P(A1;B1)' = P(A1' U B1') = P(A2 U B2) = P(A2) + P(B2) - P(A2;B2) = P(A2) + (1-P(B1)) - P(A2;B2)
Por la probabilida condicionada sabemos que
P(B2/A2)=0.6=P(B2;A2)/P(A2) entonces
P(B2;A2) = P(B2/A2)P(A2) = 0.6·0.3 = 0.18
Seguimos con lo de arriba sólo nos queda sustituir los valores que conocemos
P(A1;B1)= P(A2) + (1-P(B1)) - P(A2;B2) = 0.3 + (1-0.8)-0.18 = 0.32
b)¿P(B1/A2)?
Sabemos que B1 es el complementario de B2, así que P(B1) = 1 - P(B2)
entonces tenemos que P(B2/A2) = 1-P(B2'/A2) = 1-P(B1/A2) entonces
P(b1/A2) = 1 - P(B2/A2) = 1 - 0.6 = 0.4
1. Sabemos que P(A) = P(B) = 1/2 y que P(A/B) = 2/3. Además sabemos que P(A/B) = P(A;B)/P(B) donde ";" representa la intersección.
a) ¿P(A;B)?
Únicamente tenemos sustituir en la expresión de la probabilidad condicionada o utilizar el teorema de multiplicación, pero lo vamos a hacer desde el primero
P(A/B) = P(A;B)/P(B) despejamos la intersección
P(A;B)=P(B)·P(A/B) sustituimos los valores que conocemos
P(A;B)=1/2 * 2/3 = 2/6
b)¿P(A';B')?
Aquí vamos a utilizar una de las leyes de Morgan, que nos dicen que el complementario de la unión de dos sucesos es la intersección de los complementarios, es decir, (A U B)' = (A' ; B') y también usamos que P(A') = 1 - P(A)
Así que sabemos que
P(A';B') = P(A U B)' = 1 - P(A U B) = 1 - [P(A)+P(B)-P(A;B)] = 1 - [1/2 + 1/2 - 2/6] = 2/6
c)¿P(A' U B')?
Aquí usamos otra ley de Morgan que dice que dados dos sucesos la unión de sus complementarios es igual al complementario de la intersección, es decir, (A;B)' = A' U B'
entonces
P(A' U B') = P(A ;B)' = 1- P(A;B) = 1 - 2/6 = 4/6
d)¿P(A';B)?
Para este vamos a utilizar dos resultados, el primero el teorema de multiplicación de probabilidades para dos sucesos no independientes, que dice: P(A;B) = P(A)P(B/A) o P(A;B) = P(B)P(A/B), en nuestro caso usaremos P(A';B) = P(B)P(A'/B).
También vamos a usar que P(A'/B) = 1- P(A/B)
Así que vamos a emprezar
P(A';B) = P(B)P(A'/B) = P(B) (1-P(A/B)) sustituimos valores que conocemos y tenemos
P(A';B) = P(B) (1-P(A/B)) = (1/2)·(1-2/3) = (1/2)·(1/3) = 1/6
2. Sabemos que P(A2)=0.3, P(B1) = 0.8 y que P(B2/A2)=0.6
Además por la definición de los sucesos sabemos que A1 = A2' y que B2 = B1'
es decir los sucesos son complementarios.
a) ¿P(A1/B1)?
Este ejercicio es un poco más complicado, pero no mucho.
P(A1/B1) = P(A1;B1)/P(B1) para saber cuanto vale lo único que debemos calcular es saber cuanto vale la intersección de A1 y B1.
Sabemos que P(A1;B1) = 1-P(A1;B1)' y que P(A1;B1)' = P(A1' U B1') = P(A2 U B2) = P(A2) + P(B2) - P(A2;B2) = P(A2) + (1-P(B1)) - P(A2;B2)
Por la probabilida condicionada sabemos que
P(B2/A2)=0.6=P(B2;A2)/P(A2) entonces
P(B2;A2) = P(B2/A2)P(A2) = 0.6·0.3 = 0.18
Seguimos con lo de arriba sólo nos queda sustituir los valores que conocemos
P(A1;B1)= P(A2) + (1-P(B1)) - P(A2;B2) = 0.3 + (1-0.8)-0.18 = 0.32
b)¿P(B1/A2)?
Sabemos que B1 es el complementario de B2, así que P(B1) = 1 - P(B2)
entonces tenemos que P(B2/A2) = 1-P(B2'/A2) = 1-P(B1/A2) entonces
P(b1/A2) = 1 - P(B2/A2) = 1 - 0.6 = 0.4
