Matemáticas
Hola !, me podrías encontrar el área que se forma bajo las sig. Funciones:
Y= raíz de X, Y=-X+6
Y el volumen del solido generado por la rotación de la región limitada por la curva Y= X^3, en el eje des las y, y la recta Y=3.
Encontrar el volumen del solido generado por la rotación del eje de las X en la región limitada por la recta X-2Y=0 y la parábola Y^2-2X=0
Saludos!
Y= raíz de X, Y=-X+6
Y el volumen del solido generado por la rotación de la región limitada por la curva Y= X^3, en el eje des las y, y la recta Y=3.
Encontrar el volumen del solido generado por la rotación del eje de las X en la región limitada por la recta X-2Y=0 y la parábola Y^2-2X=0
Saludos!
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Área que se forma bajo las sig. funciones:
Y= raíz de X, Y=-X+6
Tienes que dibujar las funciones. Si eres valiente a mano. Si no, puedes usar winplot u otro programa para ver que desde x=0 hasta el punto de corte de las dos hay que integrar la función raíz de por y desde ese punto hasta x=6 se tiene que integrar f(x) = -x+6
Vamos a calcular el punto de corte
sqrt(x) = -x + 6
x = x^2 - 12x +36
x^2 -13x +36 = 0
x = (13+-sqrt(169 - 144)) / 2 = (13 +-sqrt(25)) / 2 = (13 +- 5)/2 = 9 ó 4
comprobamos que x = 9 no cumple la ecuación inicial sqrt(x) = -x + 6 porque da
3 = -9 + 6 = -3 contradictorio.
Esto sucede cuando se resuelven ecuaciones irracionales, al elevar al cuadrado se introducen respuestas que pueden ser no válidas y por tanto hay que comprobarlas.
mientras que x= 4 si cumple la ecuación inicial porque da 2 = -4 + 6
En resumen que en x=4 es donde se cortan, y como decíamos al principio:
Area =$(0,4)sqrt(x)dx + $(4,6)(-x+6)dx
Donde $ significa integral definida y depués lleva los línites entre paréntesis.
Son integrales inmediatas o casi
Area = [(2/3)x^(3/2) ] entre (0,4) + [-(x^2)/2 + 6x] entre (4,6)=
(2/3)4^(3/2) - 0 + [-36/2 + 36 + 16/2 - 24] = (2/3)8 + 20/2 =16/3 + 12 - 20/2
= 16/3 + 2 = 22/3 = 7,33333...
-----------------------------
El volumen de los solidos de revolución girando en el eje X se calcula como:
V = PI * $(a,b)(f(x))^2·dx
Nosotros lo tenemos girando en el eje Y. Tendremos que cambiar los papeles de las variables x e y. Para empezar despejaremos x en función de y, tendremos:
x = y^(1/3)
V = PI * $(a,b)(f(y))^2·dy = PI·$(0,3)(y^(1/3))^2 dy = PI·$(0,3)(y^(2/3))dy
= PI·(3/5)y^(5/3) entre [0,3] = PI·((3/5)·3^5/3 - 0) = PI · 3/5 · 6,2402515 =
= PI · 3,7441509 = 11,762597
--------------------------------
El problema que queda ya lo haré en otro momento y mando lo hecho porque voy a apagar el ordenador.
Y= raíz de X, Y=-X+6
Tienes que dibujar las funciones. Si eres valiente a mano. Si no, puedes usar winplot u otro programa para ver que desde x=0 hasta el punto de corte de las dos hay que integrar la función raíz de por y desde ese punto hasta x=6 se tiene que integrar f(x) = -x+6
Vamos a calcular el punto de corte
sqrt(x) = -x + 6
x = x^2 - 12x +36
x^2 -13x +36 = 0
x = (13+-sqrt(169 - 144)) / 2 = (13 +-sqrt(25)) / 2 = (13 +- 5)/2 = 9 ó 4
comprobamos que x = 9 no cumple la ecuación inicial sqrt(x) = -x + 6 porque da
3 = -9 + 6 = -3 contradictorio.
Esto sucede cuando se resuelven ecuaciones irracionales, al elevar al cuadrado se introducen respuestas que pueden ser no válidas y por tanto hay que comprobarlas.
mientras que x= 4 si cumple la ecuación inicial porque da 2 = -4 + 6
En resumen que en x=4 es donde se cortan, y como decíamos al principio:
Area =$(0,4)sqrt(x)dx + $(4,6)(-x+6)dx
Donde $ significa integral definida y depués lleva los línites entre paréntesis.
Son integrales inmediatas o casi
Area = [(2/3)x^(3/2) ] entre (0,4) + [-(x^2)/2 + 6x] entre (4,6)=
(2/3)4^(3/2) - 0 + [-36/2 + 36 + 16/2 - 24] = (2/3)8 + 20/2 =16/3 + 12 - 20/2
= 16/3 + 2 = 22/3 = 7,33333...
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El volumen de los solidos de revolución girando en el eje X se calcula como:
V = PI * $(a,b)(f(x))^2·dx
Nosotros lo tenemos girando en el eje Y. Tendremos que cambiar los papeles de las variables x e y. Para empezar despejaremos x en función de y, tendremos:
x = y^(1/3)
V = PI * $(a,b)(f(y))^2·dy = PI·$(0,3)(y^(1/3))^2 dy = PI·$(0,3)(y^(2/3))dy
= PI·(3/5)y^(5/3) entre [0,3] = PI·((3/5)·3^5/3 - 0) = PI · 3/5 · 6,2402515 =
= PI · 3,7441509 = 11,762597
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El problema que queda ya lo haré en otro momento y mando lo hecho porque voy a apagar el ordenador.
Encontrar el volumen del solido generado por la rotación del eje de las POR en la región limitada por la recta X-2Y=0 y la parábola Y^2-2X=0
Puesto que rotan en el eje X, la fórmula a usar es la usual y tenemos que poner y en función de x, lo de toda la vida.
La recta será y = x/2
La parábola y = sqrt(2x)
Si se dibujan se observa que al principio la parábola va por encima hasta que se cortan y la recta pasa a estar por encima. Imagino que el problema pide el área engendrada hasta ese punto de corte aunque no lo diga expresamente.
El punto de corte se calcula igualando las funciones
x/2 = sqrt(2x) elevando al cuadrado
x^2/4 = 2x ==> x= 0 es un de las dos respuestas, y ahora simplificamos
x/4 = 2
x = 8 es la otra
Verificamos que es cierta en la ecuación inicial puesto que hemos elevado al cuadrado y eso puede introducir respuestas falsas
8/2 = sqrt(16)
4 = 4
Es cierto.
Bueno ya tenemos los límites. Sabemos que la fórmula para un cuerpo de revolución generado por una función de es girando sobre el eje X es:
V(a,b) = PI · $(a,b)(f(x))^2· dx
Cuidado, podemos caer en la tentación de restar las 2 funciones e introducir esa diferencia en esta fórmula. Eso sería falso porque f^2 - g^2 <> (f - g)^2
La autentica forma es calcular el volumen de la función más "externa" y el de la más interna y hacer la diferencia. Es decir:
V = PI($(0,8)(sqrt(2x))^2·dx - $(0,8)(x/2)^2·dx) = Una vez elevadas al cuadrado por separado ya se puede juntar la diferencia en una si se quiere.
PI($(0,8)(2x - (x^2)/4)dx = PI(x^2 - x^3/12) entre 0 y 8 = PI(8^2 - 8^3/12 - 0 + 0) =
= PI(64 - 512/12) = PI(64 - 42,66..) = PI·21,333.. = 67,020643
El volumen es 67,020643 unidades cúbicas
----------
Y con esto queda resuelto todo. Espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
Puesto que rotan en el eje X, la fórmula a usar es la usual y tenemos que poner y en función de x, lo de toda la vida.
La recta será y = x/2
La parábola y = sqrt(2x)
Si se dibujan se observa que al principio la parábola va por encima hasta que se cortan y la recta pasa a estar por encima. Imagino que el problema pide el área engendrada hasta ese punto de corte aunque no lo diga expresamente.
El punto de corte se calcula igualando las funciones
x/2 = sqrt(2x) elevando al cuadrado
x^2/4 = 2x ==> x= 0 es un de las dos respuestas, y ahora simplificamos
x/4 = 2
x = 8 es la otra
Verificamos que es cierta en la ecuación inicial puesto que hemos elevado al cuadrado y eso puede introducir respuestas falsas
8/2 = sqrt(16)
4 = 4
Es cierto.
Bueno ya tenemos los límites. Sabemos que la fórmula para un cuerpo de revolución generado por una función de es girando sobre el eje X es:
V(a,b) = PI · $(a,b)(f(x))^2· dx
Cuidado, podemos caer en la tentación de restar las 2 funciones e introducir esa diferencia en esta fórmula. Eso sería falso porque f^2 - g^2 <> (f - g)^2
La autentica forma es calcular el volumen de la función más "externa" y el de la más interna y hacer la diferencia. Es decir:
V = PI($(0,8)(sqrt(2x))^2·dx - $(0,8)(x/2)^2·dx) = Una vez elevadas al cuadrado por separado ya se puede juntar la diferencia en una si se quiere.
PI($(0,8)(2x - (x^2)/4)dx = PI(x^2 - x^3/12) entre 0 y 8 = PI(8^2 - 8^3/12 - 0 + 0) =
= PI(64 - 512/12) = PI(64 - 42,66..) = PI·21,333.. = 67,020643
El volumen es 67,020643 unidades cúbicas
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Y con esto queda resuelto todo. Espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
