Problemas de integrales

¿No sé qué quiere decir en la vida "real"? En la vida real las utilizan los matemáticos, los físicos, etc. a nivel teórico pero eso es vida real, y es muchas veces la base de otra vida real, la tecnología, que es supongo a lo que se refiere tu profesor.
La primera aplicación que tienen las integrales es el cálculo del volumen. Imaginemos que un ingeniero ha desarrollado una pieza que tiene una sección central en forma de parábola (x^2) de 0 a 1 y de 1 a 1,5 es una recta horizontal y=1. Se trata de calcular el volumen que ocupara la pieza.
Entonces un diferencial de volumen dV sera el área transversal (un circulo) por un diferencial del eje X, dX. Sumando todos obtendremos el volumen total. El área del círculo es PI por el radio al cuadrado, y el radio es el valor de la curva en el punto x considerado. Llamemos f(x) a la función de la sección LONGITUDINAL de la pieza, entonces un diferencial de volumen de la sección TRANSVERSAL será:
dV = PI [f(x)]^2 dx
En nuestro caso sumamos todos los diferenciales dV: La S es la integral definida
PI (S [de 0 a 1] [x^2]^2 dx S [de 1 a 1'5] 1^2 dx) = PI ((x^5/5 con x=de 0 a 1) + (1'5-1)) = PI ((1/5-0) + 1) = PI 6/5 = 3'77
Suponiendo que se media en cm, entonces el volumen son 3'77 cm^3

<%=Texto%>En la dirección
http://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/cie_mat_calculo/aplicaciones_integral/Links/aplicaciones_integral_lnk_7.html
Hay un buen ejemplo, no obstante si deseas algo más específico puedes decírmelo y te creare uno justo a tu gusto.