Sobre Funciones Exponenciales
A principios de 1960, durante las pruebas atómicas de armas nucleares fue liberado isotopo radioactivo estroncio = -90, el cual se introdujo dentro de los huesos de cierta población. Si la vida media del estroncio -90 es de 29 años.
¿Qué fracción de estroncio -90 absorbida en 1960 quedaba en los huesos de esa población de 1990?
¿Cuánto tiempo hay que esperar para que sólo quede el 10% de estroncio -90 en los huesos de la población?
¿Qué fracción de estroncio -90 absorbida en 1960 quedaba en los huesos de esa población de 1990?
¿Cuánto tiempo hay que esperar para que sólo quede el 10% de estroncio -90 en los huesos de la población?
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Al físico le serviría el problema así porque lo ha estudiado, pero el matemático necesita la fórmula.
En la wikipedia está todo lo necesario:
http://es.wikipedia.org/wiki/Vida_media
La fórmula de desintegración es
N(t) = N(0)e^(- lambda·t)
Donde N(t) es el número de átomos presente en la muestra en el instante t
N(0) es eso mismo en el instante inicial.
lambda es la constante de desintegración.
t el tiempo transcurrido.
También dice que (vida media) = Tau = 1 / lambda, luego
lambda = 1 / tau = 1 / 29
N(1990) = N(1960+30) = N(1960)e^(- 30/29) =
Si convenimos en llamar 1 al N(1960)
= e^(-30/29) = e^(-1,0344828) = 0,3554101
Si la fracción queremos expresarla en % será:
En 1990 queda el 35,54101 % de estroncio en los huesos
Para la siguiente cuenta podemos seguir considerando 1960 como instante inicial o considerar 1990 como instante cero. Si hacemos lo primero seguirá siendo N(0) = 1, si hacemos lo segundo será N(0) = 0,3554101. Mejor lo seguimos haciendo con tiempo cero en 1960. Debemos conseguir que N(t) = 0,1
0,1 = e^(-lambda·t) = e^(-t/29)
Para resolver esto hay que tomar logaritmos neperianos
ln(0,1) = ln[e^(-t/29)) = -t/29
-2,3025851 = -t / 29
t = 2,3025851 · 29 = 66,774968
Como el tiempo cero era 1960 se lo sumamos para saber el momento que se cumple.
1960 + 66,774968 = 2026,775
A ojo 0,750 = 3/4 del año = (12/4)*3 = 9 meses
Quedan 0,025 que es 10% de de 0,250 que es lo que falta par el año. Osea el 10 % de 3 meses=90dias es 9 días
Aproximadamente el 9 de octubre de 2026 tendrán el 10% de estroncio en los huesos
Y eso es todo. Espero que le sirva a ti o a tu hija y que lo entienda. Si ya no tienes dudas puntúa la pregunta para cerrarla.
En la wikipedia está todo lo necesario:
http://es.wikipedia.org/wiki/Vida_media
La fórmula de desintegración es
N(t) = N(0)e^(- lambda·t)
Donde N(t) es el número de átomos presente en la muestra en el instante t
N(0) es eso mismo en el instante inicial.
lambda es la constante de desintegración.
t el tiempo transcurrido.
También dice que (vida media) = Tau = 1 / lambda, luego
lambda = 1 / tau = 1 / 29
N(1990) = N(1960+30) = N(1960)e^(- 30/29) =
Si convenimos en llamar 1 al N(1960)
= e^(-30/29) = e^(-1,0344828) = 0,3554101
Si la fracción queremos expresarla en % será:
En 1990 queda el 35,54101 % de estroncio en los huesos
Para la siguiente cuenta podemos seguir considerando 1960 como instante inicial o considerar 1990 como instante cero. Si hacemos lo primero seguirá siendo N(0) = 1, si hacemos lo segundo será N(0) = 0,3554101. Mejor lo seguimos haciendo con tiempo cero en 1960. Debemos conseguir que N(t) = 0,1
0,1 = e^(-lambda·t) = e^(-t/29)
Para resolver esto hay que tomar logaritmos neperianos
ln(0,1) = ln[e^(-t/29)) = -t/29
-2,3025851 = -t / 29
t = 2,3025851 · 29 = 66,774968
Como el tiempo cero era 1960 se lo sumamos para saber el momento que se cumple.
1960 + 66,774968 = 2026,775
A ojo 0,750 = 3/4 del año = (12/4)*3 = 9 meses
Quedan 0,025 que es 10% de de 0,250 que es lo que falta par el año. Osea el 10 % de 3 meses=90dias es 9 días
Aproximadamente el 9 de octubre de 2026 tendrán el 10% de estroncio en los huesos
Y eso es todo. Espero que le sirva a ti o a tu hija y que lo entienda. Si ya no tienes dudas puntúa la pregunta para cerrarla.
Realmente me sirvió de mucho aunque me cuesta como compara otros ejercicio y saber que fórmula es la mejor yo ento otra que es de vida media. ¿Ud me puede decir como saber cual me conviene?
La fórmula es
En general si una sustancia tiene vida media de h años (o minutos o segundos) entonces la cantidad QUE de sustancia restante después de tunidades de tiempo, es
Q= Qº (1/2) ^t/h
Si la cantidad original fue Qº
Espero me entienda lo que quiero saber y sepa disculpar la ignorancia. Suerte
La fórmula es
En general si una sustancia tiene vida media de h años (o minutos o segundos) entonces la cantidad QUE de sustancia restante después de tunidades de tiempo, es
Q= Qº (1/2) ^t/h
Si la cantidad original fue Qº
Espero me entienda lo que quiero saber y sepa disculpar la ignorancia. Suerte
Déjame un pequeño preámbulo. A veces, tener la razón significa tener que ir contra el mundo y tener todas las de perder. No le digas a nadie que no existe el "preveer" sino solo "prever", te mandará a freír churros. Si le dices "el agravante", "el atenuante" o que eres "poligloto" y que has "freído un huevo" te van a decir qué inculto eres. No vas a ir con el diccionario encima para decirles que tienes razón. Simplemente, lo mal expresado ha calado de tal forma en la sociedad que ya es imposible luchar contra ello y lo mejor que puedes hacer es adaptarte y a la Real Academia aceptarlo.
Viene a cuento de lo de la vida media. Ya veo que significando una cosa, se ha terminado dándole otro significado que es el que prevalece. Todo parece que habrá surgido por dos conceptos que siendo claramente distintos en ingles eran muy parecidos al traducirlos al español y se ha generado confusión.
Vida media es la media de la vida. Si 4 personas viven 40, 50, 60 y 80, la vida media es (40+50+60+80) / 4 = 57,5 años
Y el momento en el que quedarán la mitad de personas es 50 años.
Podemos ver que son dos conceptos claramente distintos y con distintos valores.
En física es particularmente importante el segundo de los conceptos. Y aunque su nombre debería ser periodo de semidesintegración, semiperíodo, vida mitad o semivida, ha venido a llamarse vida media al final, con lo que la confusión con el primer concepto está servida y ya no nos podemos fiar de lo que nos dicen.
Yo hice el problema ateniéndome al significado exacto de vida media, pero creo que será mejor hacerlo atendiendo al uso común de la palabra.
Si miras en estos sitios verás la polémica que hay con esos dos conceptos:
http://enciclopedia.us.es/index.php/Vida_media
http://es.wikipedia.org/wiki/Vida_media_(desambiguación)
http://es.wikipedia.org/wiki/Vida_media
http://es.wikipedia.org/wiki/Periodo_de_semidesintegración
Donde la conclusión es:
(Periodo de semidesintegración) = (vida media) x ln(2) = (vida media) x (0,6931471)
Entonces una de dos, o vas al profesor con toda esta documentación para preguntarle:
- Oye, con lo vida media quieres decir vida media o quieres decir periodo de semidesintegración, porque mira lo que pone aquí.
Y el profesor en un ejercicio de autoridad aunque de ignorancia, va a decir:
- Pues digo lo que digo, la vida media, todos sabemos lo que es. ¿No?
Vale, que ya está bien de rollo. Que como lo he hecho es como está bien. Pero seguramente se habrán confundido y quieren que lo hagamos de la otra forma. Ahí es donde sirve la fórmula que me dices, la cual aparece en el primero de los links y se puede usar, pero si lo que realmente nos hubieran dado fuera el periodo de semidesintegración.
De acuerdo a esa forma sería:
Q(1990) = Q(1960+30) = (1/2)^(30/29) = 0,4881908
queda el 48,81908 % en 1990
0,1 = (1/2)^(t/29)
ln(0,1) = ln[(1/2)^(t/29)] = (t/29)ln(1/2)
t = 29[ln(0,1)/ln(1/2)] = 29(-2.3025851/-0,6931471) = 96,335915
1960 + 96,335915 = 2056,335915
Quedará un 10% aproximadamente el 1 de mayo de 2056
Y eso es todo, es una confusión de lenguaje simplemente. Espero que los técnicos nucleares no tengan estas confusiones entre sí, eso sería lo peligroso.
Viene a cuento de lo de la vida media. Ya veo que significando una cosa, se ha terminado dándole otro significado que es el que prevalece. Todo parece que habrá surgido por dos conceptos que siendo claramente distintos en ingles eran muy parecidos al traducirlos al español y se ha generado confusión.
Vida media es la media de la vida. Si 4 personas viven 40, 50, 60 y 80, la vida media es (40+50+60+80) / 4 = 57,5 años
Y el momento en el que quedarán la mitad de personas es 50 años.
Podemos ver que son dos conceptos claramente distintos y con distintos valores.
En física es particularmente importante el segundo de los conceptos. Y aunque su nombre debería ser periodo de semidesintegración, semiperíodo, vida mitad o semivida, ha venido a llamarse vida media al final, con lo que la confusión con el primer concepto está servida y ya no nos podemos fiar de lo que nos dicen.
Yo hice el problema ateniéndome al significado exacto de vida media, pero creo que será mejor hacerlo atendiendo al uso común de la palabra.
Si miras en estos sitios verás la polémica que hay con esos dos conceptos:
http://enciclopedia.us.es/index.php/Vida_media
http://es.wikipedia.org/wiki/Vida_media_(desambiguación)
http://es.wikipedia.org/wiki/Vida_media
http://es.wikipedia.org/wiki/Periodo_de_semidesintegración
Donde la conclusión es:
(Periodo de semidesintegración) = (vida media) x ln(2) = (vida media) x (0,6931471)
Entonces una de dos, o vas al profesor con toda esta documentación para preguntarle:
- Oye, con lo vida media quieres decir vida media o quieres decir periodo de semidesintegración, porque mira lo que pone aquí.
Y el profesor en un ejercicio de autoridad aunque de ignorancia, va a decir:
- Pues digo lo que digo, la vida media, todos sabemos lo que es. ¿No?
Vale, que ya está bien de rollo. Que como lo he hecho es como está bien. Pero seguramente se habrán confundido y quieren que lo hagamos de la otra forma. Ahí es donde sirve la fórmula que me dices, la cual aparece en el primero de los links y se puede usar, pero si lo que realmente nos hubieran dado fuera el periodo de semidesintegración.
De acuerdo a esa forma sería:
Q(1990) = Q(1960+30) = (1/2)^(30/29) = 0,4881908
queda el 48,81908 % en 1990
0,1 = (1/2)^(t/29)
ln(0,1) = ln[(1/2)^(t/29)] = (t/29)ln(1/2)
t = 29[ln(0,1)/ln(1/2)] = 29(-2.3025851/-0,6931471) = 96,335915
1960 + 96,335915 = 2056,335915
Quedará un 10% aproximadamente el 1 de mayo de 2056
Y eso es todo, es una confusión de lenguaje simplemente. Espero que los técnicos nucleares no tengan estas confusiones entre sí, eso sería lo peligroso.
Realmente le agradezco tan amplia explicación.
Menos mal que no soy ingeniera nuclear por que estaría en un gran embrollo =)
Voy a leer esos link que me ha enviado para poder ir con mejores armas a preguntar al profe que es lo que quiere que haga. =)
Suerte y mil gracias
Menos mal que no soy ingeniera nuclear por que estaría en un gran embrollo =)
Voy a leer esos link que me ha enviado para poder ir con mejores armas a preguntar al profe que es lo que quiere que haga. =)
Suerte y mil gracias
