Ayuda urgente con problemas olímpicos

Vale, acepto el reto olímpico, pero tardaré en responder.

Gracias por aceptar el reto... tengo una semana para tener esto listo.

a)
Nada tan sencillo como llamar:
r = bolitas de la caja roja  al principio
v =  ,,                  ,,    verde al principio
a =  ,,                  ,,    azul al principio
Luego llamaremos r1, v1, v1 y r2, v2, v3, etc al número de bolitas nuevo que haya en virtud de los pasos que diga el enunciado.
r1 = r - r/3 = 2r/3
v1 = v + r/3
v2 = v + r/3 - (v + r/3)/4 = 3(v+r/3)/4
a2 = a + (v+r/3)/4
a3 = 9a2/10 = 9(a + (v + r/3) / 4) / 10
r3 = 2r/3 + (a+(v+r/3)/4)/10
Ahora igualamos a 18 las bolitas de cada caja
3(v+r/3)/4 =18                     ==>  (v+r/3)/4 = 6                                             [1]
2r/3+(a+(v+r/3)/4)/10 = 18  ==> 2r/3 + (a+6)/10 = 18                                 [2]
9(a+(v+r/3)/4)/10 = 18        ==> 9 (a + 6)/10 =18  ==> (a+6)/10 = 2          [3]
Ahora con el valor de la tercera vamos a la segunda:
2r/3 + 2 =18  ==> r = 16·3 / 2 = 24
de la tercera teníamos a = 20- 6 = 14
y como en total habrá 54, tiene quie ser que v = 16
Comprobación:
r1= 24-8 =16
v1 =16+8 =24
v2 =24 - 6 =18
a2= 14 + 6 = 20
a3 =20 -2 = 18
r3 = 16+2=18
Vale, está bien.
Había 24 rojas, 14 azules y 18 verdes.
Te mando un adelanto. ¡Seguimos trabajando en ello!

Quieres decir que:
suma digitos (x) = 2011 + suma digitos(3x) o
suma digitos (x) = 2011 x suma digitos(3x)
Creo que es lo primero, pero el uso de "veces" va asociado a la multiplicación y no estoy seguro si quieres decir lo segundo.

Suma dígitos de (x) > 2011*(suma dígitos de (3x))
estoy checando tu respuesta.. gracias

3)
Por ser múltiplos de 18 lo son de 9 y de 2. Luego deben acabar en 2 ya que no pueden acabar en 1 que es la otra opción y la suma de las cifras debe ser múltiplo de 9. Además la condición es necesaria y suficiente, es decir que también todo número acabado en dos y cuyas cifras sumen un múltiplo de 9 es un número múltiplo de 18
Al ser 14 cifras 1 ó 2 sumarán más de 14 a 28 luego la suma de cifras tiene que ser 18 o 27
14 cifras 1 ó 2 que sumen 18 son la solución de este sistema:
x + 2y = 18
x+ y = 14
que es x= 10, y =4
a) 10 unos y 4 doses
14 cifras que sumen 27
x+2y = 27
x+y=14
x = 1 e y= 13
b) un 1 y 13 doses
Para el caso a)
La cifra 14 es un dos fijo y los otros 13 lugares se puden poner como se quieran. Puesto que quedan 3 doses lo más sencillo es hacer la cuenta con ellos y las posibilidades son combinaciones de 13 tomadas de 3 en 3 =
13 x 12 x 11/ 6 = 286
Para el caso b)
Lo mismo, el sitio 14 es fijo para un dos. En los otrrs trece la única variacíon es el lugar que ocupará el 1, luego soncombinaciones de 13 tomadas de 1 en 1=
13
a) + b) = 286 + 13 = 299 números posibles
Aquí va otro.

2)
Osea, que la suma de dígitos de por sea mayor que 2011 veces la suma de los dígitos de 3x.
Se me ocurre que los números de la forma 3333... 4 se prestan muy bien a estos menesteres
34 x 3 = 102
334 x 3 = 1002
333........34 x 3 =1000......02
 n cifras                 n+1 cifras
suma de digitos de x = 3n + 1
suma de digitos de 3x = 3
3n + 1 > 2011 · 3  = 6033
3n > 6032
n > 6032/ 3 = 2010 + 2/3
n >= 2011
Es decir, ya con el número formado por 2010 treses y un cuatro se cumple. Y con cualquiera con más treses con má razón.
Y otro resuelto que va.
Ahora tengo que hacer cosas personales. Hasta la madrugada, 1h30 hora española no puedo seguir.

Hola.. disculpa, en el 3) ... ¿por qué no puede acabar en 1?.. ¿Y me pregunto donde estas considerando que no hay dígitos 2 consecutivos?

No puede terminar en uno porque sería impar y no sería divisible por 18. Tienes razón, no he tenido en cuenta que no pueda haber doses consecutivos, se me había olvidado. Ya lo corregiré, ahora no puedo dedicarme a esto por completo y no sé si podré, dentro de 2 horas y media si me dedico en exclusiva a contestar.

3)
Habíamos llegado antes a que había dos clases de números de 14 cifras uno o dos cumpliendo que eran múltiplos de 18:
a) Con 10 unos y cuatro doses acabando en 2
b) Con 13 doses y un uno acabando en dos
Se me había olvidado que no pueden ir dos doses seguidos. Esto se ve que anula completamente los números de la forma b por saturación de doses.
Luego solo valen los casos a) y no todos.
Como la cifra 14 es dos la trece tiene que ser uno. Luego tenemos 12 lugares para colocar 3 doses sin que haya dos juntos.
Me temo que no queda otra alternativa que hacer el recuento, simplificando como se pueda pero un recuento. Pondré los lugares donde pueden ir los doses
1, 3, [5 a 12] = 8
1, 4, [6 a 12] = 7
Y así con el segundo dos de 5 a 10 y el tercero dos lugares más adelante y hasta el final
tenemos que con un dos en el primer sitio hay en total
8+7+6+5+4+3+2+1 = 36
Ahora con el primer dos en segundo lugar
2, 4, [6 a 12] = 7
Haciendo las mismas cuentas que antes serán en total
7+6+5+4+3+2+1 = 28
Para el primer dos en tercer lugar son
6+5+4+3+2+1 = 21
en el cuarto 5+4+3+2+1 = 15
en el quinto 4+3+2+1 = 10
en el sexto  3+2+1 = 6
en el séptimo 2 + 1 = 3
En el octavo 1
En el noveno ya no se puede pues el siguiente sería en el 11 y ya no podría ponerse el tercer dos sin tocar con el anterior
Sumamos todas las cantidades:
36+28+21+15+10+6+3+1= 120  números que cumplen todas las condiciones.
Ahora si lo dejo hasta que pueda.

4) Utilizando una sola vez cada uno de los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 se escriben el cuadrado y el cubo de un número entero positivo. Determinar cuánto puede valer dicho número.
O sea, que el cuadrado tendrá unas cifras y el cubo las otras:
Sea n ese número:
N no puede acabar en 1 porque el cuadrado y el cubo acabarían en 1 y se repetiría
n no puede acabar en 5,,,,,,,, 5,,
n no puede acabar en 6,,,,,,,, 6,,
n no puede acabar en 0 porque el cuadrado acabaría en 0 que no está
n no puede acabar en 3 porque el cuadrado acabaría en 9 que no esta
n no puede acabar en 7,,,,,, 9 que no está
n no puede acabar en 9 pruqe el cubo acabaría en 9 que no esta.
Resumiendo, n tiene que acabar en 2, 4 u 8.
El número de dígitos de n^2 y n^3 no pueden ser 4 y 4, porque en el caso más favorabl:
n^2>= 1000 ==> n>33 ==> n^3>=35937
Y n^3 tendría 5 cifras
El numero de dígitos no puede ser 2 y 6
n^2<100 ==>  n <10  ==> n^3 < 1000
Y n^3 solo tendría 3 dígitos en lugar de las 6 previstas
Luego el número de dígitos de n^2 y n^3 tiene que ser 3 y 5
Vamos a delimitar los valores que puede tener n

n^2 entre 123 y 876  ==> n entre 12 y 29
n^3 entre 12345 y 87654 ==> n entre 24 y 44
De las dos lineas de arriba se deduce  n entre 24 y 29
Como debe acabar en 2, 4 u 8
n=24 ó n = 28
Si n = 24,   n^2 = 576,   n^3 = 13824 se cumple
Si n = 28,   n^2 = 784,   n^3 = 21952 no se cumple
Luego la respuesta es n = 24
Lo mando ya como he acostumbrado a hacer hasta ahora y hoja nueva para el último problema.

5)Decimos que un número de cuatro dígitos abcd (a diferente de 0) es porá si se cumplen las siguientes condiciones:
a>=b;
ab-cd=cd-ba.
Por ejemplo, 2011 es porá porque . 20-11=11-02
Hallar todos los números porá.
De ab-cd = cd - ba ==> 2cd = ab+ba, significa que a y b son o los dos pares o los dos impares.  Y también c = d =  (a+b)/2
Dado ab calculamos c = d = (a+b)/2.
Ejemplo ab=31 , ba=13,  c =(1+3)/2,  cd =22,  número porá = 3122
La lista completa de números porá es esta:
9999, 9788, 9577, 9366, 9155
8888, 8677, 8466, 8255, 8044
7777, 7566, 7355, 7144
6666, 6455, 6244, 6033
5555, 5344, 5133
4444, 4233, 4022
3333, 3122
2222, 2011
1111
Y eso es todo. Espero que te sirva y lo hallas entendido. Pide cuantas aclaraciones desees y en el momento que ya no las necesites no olvides puntuar para cerrar la pregunta.

en e problema 5) .. de donde has sacado Y también c = d =  (a+b)/2
Dado ab calculamos c = d = (a+b)/2. .. no lo visualizo.

En el 4) .. donde dice Si n = 28,   n^2 = 784,   n^3 = 21952 no se cumple
¿Por qué no se cumple?

Je je... ultima pregunta descartada... no había visto el 9 .. me paso... je je

Si, en el 4 sale el 9 y el 2 está repetido y faltan el 3 y el 6, o sea que muy mal.
Lo otro yo lo veo muy intuitivo, pero vamos a demostrarlo con pelos y señales.
Tenemos que demostrar:
ab-cd = cd - ba  <==> c = d = (a+b)/2    con c y d números naturales
==>)
Pongámoslo de forma que se pueda operar normalmente con esos números:
10a + b - 10c - d = 10c + d - 10b - a  ,  dando algún paso extra llegamos a
20c + 2d = 10(a+b) + (a+b)
10c + d = 10 (a+b)/2 + (a+b)/2
Resolvamos la ecuación diofántica con incognitas c y d por los medios habituales
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diof%C3%A1ntica
El mcd(10,1) = 1 luego 1 debe dividir a lo del lado derecho. El único problema seria que no fuera un número natural.
Lo del lado derecho será 5(a+b) + (a+b)/2. Lo primero es siempre entero luego debe ser (a+b)/2 entero
Si a y b pares se cumple, si los dos impares también. Si uno par y otro impar no se cumple. Luego a y b deben ser o los dos pares o los dos impares.
Volvamos a la ecuación diofántica
La solucion c =(a+b)/2 y d=(a+b)/2 es una solución particular basta con comprobarlo.
Ahora las soluciones gererales seran:
c = (a+b)/2 + lambda(coeficiente de d / mcd(10,1)) = (a+b)/2 + lambda
d = (a+b)/2 - lambda (coeficiente de c / mcd(10,1)) = (a+b)/2 - 10·lambda
pero veamos que tomemos lambda que sea distinto de cero, d tomara valor negativo o mayor que 10, lo cual es contradictorio con que d es un dígito (0..9) y por tanto la unica solución es c = d = (a+b) / 2
Ahora la demostración en el otro sentido
<==)
ab-cd = cd - ba
operamos igual que antes llegamos a
10c + d = 10 (a+b)/2 + (a+b)/2
y si ahora sutituimos c por (a+b)/2 y d por (a+b)/2 vemos que se verifica.
En resumen queda demostrado que:
ab-cd = cd - ba  <==> c = d = (a+b)/2    con c y d números naturales
Es decir que abcd con a>=b es numero torá si y solo si c = d = (a+b)/2    con c y d números naturales.
Y esto nos proporciona el método de construcción que he empleado para elaborar la lista de todos los números torá.
Ahora voy a dormir. Espero que ya se resuelvan todas las dudas. No olvides lo que digo siempre.