Anónimo
Problemas con calculo !
Tengo dificultades para resolver el siguienteproblema de calculo espero que me puedas ayudar a dale solución y si es posible recomendarme un libro sobre el tema y darme algunos tips para resolver este tipo de problemas, el problema es el siguiente:
La edad de objetos antiguos se determina con un método, llamado de datación(o fechamiento) con radiocarbono. Los rayos cósmicos que bombardean la atmósfera superior convierten el nitrógeno en un isotopo radiactivo del carbono, el C14(carbono 14), cuya vida media es de unos 5730 años. La vegetación absorbe el dióxido de carbono de la atmósfera y los animales asimilan el C14 por las cadenas alimenticias. Cuando muere una planta o un animal, cesa de reemplazar su carbono y la cantidad de C14 comienza a disminuir por desintegración radiactiva; por consiguiente, el nivel de radiactividad también debe decaer en forma exponencial. Ahora bien, se descubrió un fragmento de pergamino con 74% de radiactividad de C14 en comparación con el material vegetal en el mundo actual. Calcular la edad del pergamino.
La edad de objetos antiguos se determina con un método, llamado de datación(o fechamiento) con radiocarbono. Los rayos cósmicos que bombardean la atmósfera superior convierten el nitrógeno en un isotopo radiactivo del carbono, el C14(carbono 14), cuya vida media es de unos 5730 años. La vegetación absorbe el dióxido de carbono de la atmósfera y los animales asimilan el C14 por las cadenas alimenticias. Cuando muere una planta o un animal, cesa de reemplazar su carbono y la cantidad de C14 comienza a disminuir por desintegración radiactiva; por consiguiente, el nivel de radiactividad también debe decaer en forma exponencial. Ahora bien, se descubrió un fragmento de pergamino con 74% de radiactividad de C14 en comparación con el material vegetal en el mundo actual. Calcular la edad del pergamino.
1 Respuesta
Respuesta de mikel1970
1
Veamos primero de dónde vienen las fórmulas que conducen a la resolución de estos problemas ( aunque probablemente no necesites la demostración).
Como bien dices, los átomos de C14 permanecen constantes a lo largo de la vida de la especie debido a que son suministrados por el alimento, reemplazando los desintegrados.
Una vez que la especie muere, ya no hay un reemplazamiento, y el C14 empieza a desintegrarse. La velocidad de desintegración es proporcional al número de átomos, con lo cual
V = dN/dt = -K*N
Siendo
V = dN/dt ---> Velocidad de desintegración: derivada del número de átomos respecto al tiempo
K ---> constante de desintegración
El signo negativo se debe a que el número de átomos disminuye respecto al tiempo
Integrando la ecuación:
dN/dt = -K*N
dN/N = -K*t
Ln (N/No) = -K*t
N/No = e^(-K*t)
Luego la ecuación que nos rige el número de partículas en función del tiempo será
N = No*e^(-K*t)
siendo
No ---> Número de átomos iniciales ( cuando muere la especie)
De igual forma, la actividad o radiactividad, es la velocidad con la que se desintegran, o sea V=A, que es proporcional al Número N
V = A= K*N = K*No*e^(-K*t)
A = Ao*e^(-K*t)
con Ao = K*No ---> actividad inicial
Es decir, las fórmulas a emplear serán
N = No*e^(-k*t)
A = Ao*e^(-k*t)
en función de si quieres sacar la actividad o el número de partículas
Una de las formas de calcular la constante, es a través de la vida media, es decir el tiempo que tarda el pergamino en desintegrarse a la mitad, o sea, en hacer que N = No/2
Así si t=tm -- tiempo de vida media, entonces N = No/2, con lo que:
N = No*e^(-k*tm)
No/2 = No*e^(-k*tm)
1/2 = e^(-k*tm)
e^(k*tm) = 2
Aplicando logaritmos
Ln[e^(k*tm)] = Ln2
k*tm = Ln2
con lo que
k = Ln2/tm
siendo Ln2 = 0.693 ( logaritmo neperiano de 2).
Como ves, el valor de la onstante es independiente del número de partículas iniciales No
Vayamos a tu problema:
El tiempo de vida medio es tm=5730 años, con lo que la constante es
k = Ln2/5730 años^-1
En el estado actual la actividad es el 74% de la de en vida, o sea
A = 74/100 * Ao = 0.74*Ao
luego
A = Ao*e^(-K*t)
0.74*Ao = Ao*e^(-K*t)
0.74 = e^(-K*t)
Aplicando logaritmos
Ln0.74 = Ln[e^(-k*t)]
Ln0.74 = -k*t
t = -Ln0.74/k
Sustituyendo k = Ln2/5730
t = -Ln0.74 /(Ln2/5730)
t= -( Ln0.74 / Ln2) * 5730
t = - (-0.301/0.693)*5730
t = 2489 años
que será el tiempo del pergamino
Resumiendo, las fórmulas a aplicar son
N = No*e^(-k*t)
A = Ao*e^(-k*t)
k = Ln2/tm = 0.693/tm
El tiempo puedes ponerlo en las unidades que quieras ( años, días, segundos...), pero si empiezas el problema con una unidad no la cambies. Asimismo las unidades y valor de k dependerá de la unidad que elijas)
En casi todos estos problemas te van a dar el tiempo de vida medio (tm), y lo primero que has de hacer es calcular el valor de la constante k ( o lambda en la mayor parte de los libros).
Una vez calculada sólo has de sustituir en las fórmulas de N o de A.
Para practicar aquí tienes una hoja con problemas y soluciones:
http://www.edu.aytolacoruna.es/aula/fisica/problemas/Selectividad/Fisica_nuclear.doc
Como bien dices, los átomos de C14 permanecen constantes a lo largo de la vida de la especie debido a que son suministrados por el alimento, reemplazando los desintegrados.
Una vez que la especie muere, ya no hay un reemplazamiento, y el C14 empieza a desintegrarse. La velocidad de desintegración es proporcional al número de átomos, con lo cual
V = dN/dt = -K*N
Siendo
V = dN/dt ---> Velocidad de desintegración: derivada del número de átomos respecto al tiempo
K ---> constante de desintegración
El signo negativo se debe a que el número de átomos disminuye respecto al tiempo
Integrando la ecuación:
dN/dt = -K*N
dN/N = -K*t
Ln (N/No) = -K*t
N/No = e^(-K*t)
Luego la ecuación que nos rige el número de partículas en función del tiempo será
N = No*e^(-K*t)
siendo
No ---> Número de átomos iniciales ( cuando muere la especie)
De igual forma, la actividad o radiactividad, es la velocidad con la que se desintegran, o sea V=A, que es proporcional al Número N
V = A= K*N = K*No*e^(-K*t)
A = Ao*e^(-K*t)
con Ao = K*No ---> actividad inicial
Es decir, las fórmulas a emplear serán
N = No*e^(-k*t)
A = Ao*e^(-k*t)
en función de si quieres sacar la actividad o el número de partículas
Una de las formas de calcular la constante, es a través de la vida media, es decir el tiempo que tarda el pergamino en desintegrarse a la mitad, o sea, en hacer que N = No/2
Así si t=tm -- tiempo de vida media, entonces N = No/2, con lo que:
N = No*e^(-k*tm)
No/2 = No*e^(-k*tm)
1/2 = e^(-k*tm)
e^(k*tm) = 2
Aplicando logaritmos
Ln[e^(k*tm)] = Ln2
k*tm = Ln2
con lo que
k = Ln2/tm
siendo Ln2 = 0.693 ( logaritmo neperiano de 2).
Como ves, el valor de la onstante es independiente del número de partículas iniciales No
Vayamos a tu problema:
El tiempo de vida medio es tm=5730 años, con lo que la constante es
k = Ln2/5730 años^-1
En el estado actual la actividad es el 74% de la de en vida, o sea
A = 74/100 * Ao = 0.74*Ao
luego
A = Ao*e^(-K*t)
0.74*Ao = Ao*e^(-K*t)
0.74 = e^(-K*t)
Aplicando logaritmos
Ln0.74 = Ln[e^(-k*t)]
Ln0.74 = -k*t
t = -Ln0.74/k
Sustituyendo k = Ln2/5730
t = -Ln0.74 /(Ln2/5730)
t= -( Ln0.74 / Ln2) * 5730
t = - (-0.301/0.693)*5730
t = 2489 años
que será el tiempo del pergamino
Resumiendo, las fórmulas a aplicar son
N = No*e^(-k*t)
A = Ao*e^(-k*t)
k = Ln2/tm = 0.693/tm
El tiempo puedes ponerlo en las unidades que quieras ( años, días, segundos...), pero si empiezas el problema con una unidad no la cambies. Asimismo las unidades y valor de k dependerá de la unidad que elijas)
En casi todos estos problemas te van a dar el tiempo de vida medio (tm), y lo primero que has de hacer es calcular el valor de la constante k ( o lambda en la mayor parte de los libros).
Una vez calculada sólo has de sustituir en las fórmulas de N o de A.
Para practicar aquí tienes una hoja con problemas y soluciones:
http://www.edu.aytolacoruna.es/aula/fisica/problemas/Selectividad/Fisica_nuclear.doc