Demostrar que la función tan(x)

Es una pregunta bastante amplia podrían ser tres tranquilamente.

a) La función tanh(x) es
tanh(x) = [e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]
El numerador es una función continua por suma de continuas, lo mismo que el denominador. Además el denominador no vale nunca 0 por ser suma de dos funciones estrictamente positivas. Entonces el cociente es una función continua en todo R.
Y vamos a ver que tanh(x) es una función monótona creciente estricta, para ello vamos a derivarla
tanh(x) = senh(x) / cosh(x)
tanh'(x) = ([cosh(x)]^2 - [senh(x)]^2) / [cosh(x)]^2 = 1/[cosh(x)]^2
La función es derivable en todo R y la derivada es positiva siempre, luego es tanh(x) es monótona creciente estricta.
Si una función es continua y monótona estricta es inyectiva y por lo tanto tiene inversa en el intervalo imagen del intervalo que cumple esas condiciones. Ya sabemos que tanh(x) es inyectiva en todo R solo nos falta probar que existen puntos donde tanh(x) vale -1 y 1 o que ese es el límite en -infinito e infinito
lim x-->-oo tanh(x) = [e^(-oo)- e^(oo)] / [e^(-oo)+e^(oo)] =
como e^(-oo) = 0
= -e^(oo) / e^(oo) = -1
lim x--> oo tanh(x) = [e^(oo)-e^(-oo)] / [e^(oo)+e^(-oo)] =
e^(oo) / e^(oo) = 1

Luego la función toma todos los valores en (-1,1) y es inyectiva, luego existe tanh^-1(x) con dominio (-1, 1) e imagen (-oo, oo)

Lo que te decía estoy mirando el apartado b) y veo que va a llevar buen trabajo.

Manda cada apartado que queda en una pregunta distinta