Sobre triángulos
En el triángulo ABC, el ángulo C es un ángulo recto, AC=6 y la longitud de la mediana CD=5 ¿Cuánto vale AC?
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Si el punto DE está sobre AB y las longitudes son iguales. Puesto que DE está a la mitad
Perdón la pregunta es cuanto mide AB me equivoqué al escribir
Perdón la pregunta es cuanto mide AB me equivoqué al escribir
Ten a mano el dibujo para comprender el razonamiento.
Usaremos el teorema de los senos, que dice que los cocientes de lo los lados por los senos de los angúlos opuestos son iguales
a/senA = b/senB = c/senC
Lo aplicaremos en los dos tríangulos que se forman. Llamaremos alfa al ángulo ACD y beta al complementario BCD
En el triángulo ACD tendremos:
1) 5/senA = AD/sen alfa
y el triángulo BCD tendremos
5/senB = BD/sen beta
Pero se dan todas estas circunstancias, que AD=BD, que alfa y beta son complementarios y que A y B son complementarios. Cuando dos ángulos son complemetarios el seno de uno es el coseno del otro y viceversa.
Con todo eso, la segunda igualdad queda
2) 5/cosA = AD/cos alfa
Si despejamos el 5 en 1) y 2) e igualamos tenemos:
AD·senA/sen alfa = ADcosA/cos alfa
Simplificando y pasando cosas de un sitio a otro queda
senA/cosA = sen alfa / cos alfa
tg A = tg alfa
Dos ángulos tienen la misma tangente si son iguales o difieren en 180º, es absurdo que difieran porque con un angulo de 180 y otros dos de 0 no se formaría el triángulo ACD, luego
A = alfa
Y si A = alfa, el triángulo ACD es isosceles y por lo tanto AD = CD = 5
Con lo que AB = 2 · 5 = 10
Luego la respuesta es AB = 10 unidades.
Y eso es todo, espero que lo hallas entendido. Si no, pide las aclaraciones que quieras. NO te olvides de puntuar para cerrar la pregunta.
Usaremos el teorema de los senos, que dice que los cocientes de lo los lados por los senos de los angúlos opuestos son iguales
a/senA = b/senB = c/senC
Lo aplicaremos en los dos tríangulos que se forman. Llamaremos alfa al ángulo ACD y beta al complementario BCD
En el triángulo ACD tendremos:
1) 5/senA = AD/sen alfa
y el triángulo BCD tendremos
5/senB = BD/sen beta
Pero se dan todas estas circunstancias, que AD=BD, que alfa y beta son complementarios y que A y B son complementarios. Cuando dos ángulos son complemetarios el seno de uno es el coseno del otro y viceversa.
Con todo eso, la segunda igualdad queda
2) 5/cosA = AD/cos alfa
Si despejamos el 5 en 1) y 2) e igualamos tenemos:
AD·senA/sen alfa = ADcosA/cos alfa
Simplificando y pasando cosas de un sitio a otro queda
senA/cosA = sen alfa / cos alfa
tg A = tg alfa
Dos ángulos tienen la misma tangente si son iguales o difieren en 180º, es absurdo que difieran porque con un angulo de 180 y otros dos de 0 no se formaría el triángulo ACD, luego
A = alfa
Y si A = alfa, el triángulo ACD es isosceles y por lo tanto AD = CD = 5
Con lo que AB = 2 · 5 = 10
Luego la respuesta es AB = 10 unidades.
Y eso es todo, espero que lo hallas entendido. Si no, pide las aclaraciones que quieras. NO te olvides de puntuar para cerrar la pregunta.
