Problema de puntos colineales y puntos medios
El problema dice:
Sean A,B,C colineales y sean P punto medio de BC, Q punto medio de CA, R punto medio de AB. Entonces los puntos medios de CR y PQ coinciden
Lo estube intentando hacer, primero como si tuviera los valores de cada uno de los segmentos pero me di cuenta que estaba perdiendo la generalidad, despues por reduccion al absurdo pero no llego a nada
Ayuda!
Sean A,B,C colineales y sean P punto medio de BC, Q punto medio de CA, R punto medio de AB. Entonces los puntos medios de CR y PQ coinciden
Lo estube intentando hacer, primero como si tuviera los valores de cada uno de los segmentos pero me di cuenta que estaba perdiendo la generalidad, despues por reduccion al absurdo pero no llego a nada
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1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Como antes, tomemos un punto O colineal con A, B y C. Además bien a la izquierda para que todos los segmentos OX sean positivos.
Con respecto a ese punto O llamemos a, b y c a la distancia de A,B y C a ese punto. Hallemos la distancia a O de los puntos intermedios
P = punto medio BC = (b+c)/ 2
Q = punto medio CA = (c+a)/2
R = punto medio AB = (a+b)/2
Ahora
punto medio CR = [c + (a+b)/2] / 2 = [(2c+a+b)/2] / 2 = (2c+a+b) / 4
punto medio PQ = [(b+c)/2 + (c+a)/2] / 2 = [(b+2c+a)/2] / 2 = (b+2c+a) / 4
Y en efecto, coinciden.
Y eso es todo.
Con respecto a ese punto O llamemos a, b y c a la distancia de A,B y C a ese punto. Hallemos la distancia a O de los puntos intermedios
P = punto medio BC = (b+c)/ 2
Q = punto medio CA = (c+a)/2
R = punto medio AB = (a+b)/2
Ahora
punto medio CR = [c + (a+b)/2] / 2 = [(2c+a+b)/2] / 2 = (2c+a+b) / 4
punto medio PQ = [(b+c)/2 + (c+a)/2] / 2 = [(b+2c+a)/2] / 2 = (b+2c+a) / 4
Y en efecto, coinciden.
Y eso es todo.
