Axiomas básicos de geometría

Una axiomatización práctica la formuló Euclides y consta de 5 postulados. Más tarde, con el advenimiento de la Teoría de conjuntos, David Hilbert propuso unos axiomas (más formales) para la Geometría plana, que se pueden clasificar como sigue:
- Axiomas de incidencia
: Relativos a si dos lugares se cortan o no
I1-Para cada dos puntos distintos P y QUE existe una recta única que pasa por(indice en) ellos.
I2-Para cada recta existen al menos dos puntos distintos incidentes con ella.
I3-Existen tres puntos de forma que no hay ninguna línea que pase por los tres. (es decir, dimensión mínima = 2)
- Axiomas de orden (relativo al orden de los puntos dentro de una misma recta)
Se introduce el orden *, de forma que A*B*C se lee "B está entre A y C". Denotaré r(A,B) la recta determinada por A y B, si A=/=B (A distinto de B)
O1-Si A*B*C, entonces A, B, y C son tres puntos distintos que están en la misma recta y además C*A*B.
O2- Dados dos puntos distintos B y D, existen tres puntos A, C, y E de r(B,D), de forma que A*B*D, B*C*D, y B*D*E.
O3-Dados tres puntos distintos sobre la misma recta, sólo uno de ellos está entre los otros dos. (Orden total)
El siguiente axioma limita la dimensión a 2. Se define que dos puntos A y B están a un mismo lado de una recta r si A=B o r(A, B) no incide con r. Se dirá que están en lados opuestos en caso contrario.
O4-(Axioma de separación de planos) Para toda recta r, y puntos A, B, y C cualesquiera, que no estén sobre r:
(1) Si A y B están al mismo lado de r, y B y C están al mismo lado de r, entonces A y C están al mismo lado de r.
(2) Si A y B están en lados opuestos de r, y B y C están en lados opuestos de r, entonces A y C están en el mismo lado de r.
Este axioma es complicado, pero sólo intenta decir que una recta bisecciona el espacio (esto no sucede en 3D dada la definición de "estar al mismo lado" dada arriba).
- Axiomas de congruencia (se refieren a la comparación de objetos)
AB==CD significará que "los segmentos AB y CD tienen la misma longitud" (o que "AB es congruente con CD"). Un segmento PQ, dados dos puntos distintos P y Q, es el conjunto de puntos X, de forma que P*X*Q. Denotaré por A->B (A=/=B) el rayo que va desde A hasta B, es decir, el conjunto de puntos X tales que A*X*B o A*B*X.
C1-Si A y B son dos puntos distintos, y C un punto cualquiera, entonces para todo rayo l que parte de C, existe un único punto D en l tal que D=/=C y AB==CD.
C2-Si AB==CD y ED==CD , entonces AB==ED (transitiva). Además todo punto es congruente consigo mismo (reflexiva).
C3-Si A*B*C, A'*B'*C', AB==A'B', y BC==B'C', entonces AC==A'C'.
En el siguiente se usa el concepto de ángulo, que denotaré por <ABC, para un ángulo delimitado por los rayos B->A y B->C.
C4-Dado cualquier ángulo <ABC, y cualquier rayo A'->B, existe un único rayo A'->C en un lado dado de la recta r(A', B') tal que <BAC==<B'A'C'.
C5-Si dos ángulos <X e <Y son congruentes (tienen la misma apertura) a un tercero <Z, entonces <X == <Y.
C6-(primer axioma sobre triángulos que, curiosamente, Euclides da como teorema) Si dos lados de un triángulo T, que forman un ángulo <alfa, son iguales a dos lados de otro triángulo T', que forman un ángulo <beta, y <alfa == <beta, entonces T == T' (ambos triángulos son congruentes).
Definición: dos triángulos son congruentes si sus lados son congruentes (los tres de cada uno y de alguna forma) y sus ángulos también lo son.
Sólo faltan los axiomas que Euclides no pudo concretar, por su dificultad:
- Axiomas de continuidad
-Axioma de Arquímedes. Nos dice que si tenemos un rayo y un punto de