Ejercicio con subespacios vectoriales
Buenas tardes.
En primer lugar me gustaría darle las gracias de antemano por la dedicación a mi duda.
Mi problema viene al hacer ejercicios sobre espacios vectoriales y con un ejercicio en concreto me encuentro desorientado por completo. Lo cual me hace pedirle por favor la manera de resolverlo paso a paso. El ejercicio en cuestión es el siguiente.
Gracias de nuevo.
Un saludo.
$$\begin{align}&Sabiendo \space que \space U_1=((x_1,x_2,x_3)| \space x_1+x_2+x_3=0) \space y \space que \space U_2=<(1,2,3)>\\ &se \space pide:\\ &A)\space Unas \space ecuaciones \space paramétricas \space y \space cartesianas \space de \space U_1+U_2 \space y \space de \space U1nU2.\\ &B)\space Explicar \space si \space U_1+U_2 \space es \space suma \space directa \space o \space no, \space y \space si \space lo \space es, \space encontrar \space una \\ &descomposición \space del \space vector \space (0,0,-6) \space como \space suma \space de \space un \space vector \space de \space U1 \space y \space otro\\ &de \space U2\end{align}$$
1 Respuesta
Supondré que el espacio es R3
Los elementos de U1 puestos en forma paramétrica respecto de los parámetros t y s son
U1 = {(t, s, -t-s) | t,s € R}
ya que t+s-t-s=0
Las ecuaciones paramétricas son
x1=t
x2=s
x3=-t-s
para todo t, s € R
Y la ecuación cartesiana es la que nos dan
x1+x2+x3=0
Y el espacio vectorial U2 puesto respecto al parámetro r es
U2 ={(r, 2r, 3r) | r € R}
Las ecuaciones paramétricas son
x1=r
x2=2r
x3=3r
para todo r€R
Y la ecuación continua cartesiana es
x1 / 1 = x2 / 2 = x3 / 3
de donde se pueden extraer 2 ecuaciones, por ejemplo
2x1 - x2 = 0
3x1 - x3 = 0
El espacio U1+U2 tendrá los elementos
U1+U2 = {(t, s, -t-s) + (r, 2r, 3r) | t,s,r € R} = {(t+r, s+2r, -t-s+3r) t,s,r € R}
Pero esto es el espacio R3 completo ya que si tomamos estos vectores por ejemplo
(1,1,-2) € U1 incluido en U1+U2
(1,2,3) € U2 incluido en U1+U2
y su suma directa
(1,3,1) € U1 + U2
Tenemos tres vectores de U1+U2 que son linealmente independientes y por lo tanto la dimensión de U1+U2 es 3
| 1 1 - 2|
| 1 2 3| = 2 + 3 - 6 + 4 - 1 - 9 = -7
| 1 3 1|
Ahí demuestro por el determinante que son linealmente independientes.
Luego un subespacio de dimensión 3 en un espacio de dimensión 3 es todo el espacio y podemos poner las siguientes ecuaciones paramétricas de U1+U2
x1=r
x2=s
x2=t
para todo r,s,t € R
Para el espacio total no hay ecuación cartesiana, que yo sepa.
Y la intersección de U1 y U2 es
(t, s, -s-t) = (r, 2r, 3r)
t=r
s=2r
-t-s = 3r
t - r = 0
s-2r = 0
-t - s - 3r = 0
| 1 0 -1|
| 0 1 -2| = -3 -1-2 = -6
|-1 -1 -3|
Luego es un sistema homogéneo compatible determinado y la única solución es
t=0
s=0
r=0
Y la intersección es
U1 n U2 = {(0,0,0)}
que en paramétricas será
x1=0
x2=0
x3=0
y que tampoco tiene representación en cartesianas que yo sepa.
B)
Si, es suma directa porque la intersección es el vector nulo.
(0,0,6) = (t+r, s+2r, -t-s+3r)
el orden de las columnas que pondré es t,s,r
1 0 1 | 0
0 1 2 | 0
-1 -1 3 | 6
1 0 1 | 0
0 1 2 | 0
0 -1 4 | 6
1 0 1 | 0
0 1 2 | 0
0 0 6 | 6
luego r=1
s+2·1 = 0
s= -2
t + 1 = 0
t=-1
con lo cual los vectores que eran (t, s, -t-s) y (r,2r,3r) son
(-1, -2, 3) y (1, 2, 3)
Y eso es todo.
