¿Qué me aconsejas para iniciarme de forma metódica en el estudio de las matemáticas?

En un principio, está la siguiente lista de materias, que encarnan lo que se llama Fundamentos de las Matemáticas (foundations):
Lógica matemática --> Teoría de conjuntos --> Relaciones y estructuras --> Construcción del sistema numérico
Se termina, como ves con la construcción del sistema numérico, que está omnipresente en Matemáticas.
En realidad, el estudio de la Lógica Matemática depende de la Teoría de conjuntos y viceversa.
Para un estudio sistemático de las Matemáticas, es muy recomendable hacerse rápidamente con los conceptos básicos de la teoría de conjuntos (que es distinto a ser experto en Teoría de conjuntos). Sin una base en teoría de conjuntos, es imposible estudiar las matemáticas modernas (sobre todo las más abstractas), tal y como se estructuran, dependen del omnipresente concepto de conjunto. Ni siquiera los números se podrán entender sin un estudio de los conjuntos.
La Lógica matemática no es necesaria, sino que se puede estudiar una vez estudiada la teoría de conjuntos, y sirve, además de por sí misma, para reforzar el propio concepto y actividad de las matemáticas.
Aparte de las de fundamentación, las materias principales en Matemáticas son las siguientes:
- Álgebra
- Topología
- Cálculo diferencial
- Cálculo integral
- Geometría
- Teoría de la medida
- Teoría de las ecuciones diferenciales
- Teoría de las funcinoes de variable compleja
- Análisis funcional
- Topología algebraica
- Teoría de números
- Geometría analítica
- Estadística
- Cálculo de probabilidades
- Combinatoria
- Teoría de grafos
- Geometría diferencial
- Programación lineal
Luego, por supuesto, hay cientos de teorías "especiales", o temas, dentro de cada materia. Por ejemplo, en Álgebra se estudian: Teoría de Galois, Teoría de Grupos, Teoría de Módulos, etc.; y en Geometría: Geometría fractal, Geometría Euclídea, Geometría hiperbólica, etc.
Para empezar, te recomiendo el siguiente libro:
"Teoría intuitiva de los Conjuntos", 8ª reimpresión, por Paul R. Halmos, ed. C.E.C.S.A., 1973
(Esta es la edición que yo tengo, puede haber alguna nueva)
Luego el orden lógico se sigue estudiando Álgebra y Topología, en cualquier orden o a la vez, pues son la fundamentación del resto.
Por último, en la web hay apuntes de asignaturas, etc., pero yo sólo utilizo este:
http://www.matematicas.net/php/main.php
En resumen, consigue el Halmos, que es la base, y luego consigue libros de álgebra y topología, cuando domines esta trilogía, nada se te podrá resistir.