Demostración
Hola mikel1970, no he podido hacer este ejercicio, es el siguiente:
Demostrar que:
Para todo n pertenece a los naturales (2^2n+1 - 9n^2 + 3n - 2 es divisible por 9).
De antemano muchas gracias.
Demostrar que:
Para todo n pertenece a los naturales (2^2n+1 - 9n^2 + 3n - 2 es divisible por 9).
De antemano muchas gracias.
Respuesta de mikel1970
1
Supongo que has de demostrarlo por inducción.
Si es así, aplicar el principio de inducción:
1º Lo demostramos para n=1
2^(2*1+1)-9*1^2+3*1-2=
2^3-9+3-2=8-9+3-2=0, que es múltiplo de 9
2º Lo sumponemos cierto para n:
2^(2n+1)-^9*n^2+3n-2-->múltiplo de 9
y lo demostramos para n+1
2^(2*(n+1)+1)-9*(n+1)^2+3*(n+1)-2
Desarrollando:
2^(2*(n+1)+1)-9*(n+1)^2+3*(n+1)-2=
2^(2n+2+1)-9*(n^2+2n+1)+3n+3-2
2^2*2^(2n+1)-9n^2-9*(2n+1)+3n+3-2
4*2^(2n+1)-9n^2-9*(2n+1)+3n+3-2
Poniendo 4=3+1 (para poder sacar un 3 factor común) y ordenando:
(3+1)*2^(2n+1)-9n^2-9*(2n+1)+3n+3-2=
3*2^(2n+1)+2^(2n+1)-9n^2-9*(2n+1)+3n+3-2=
[2^(2n+1)-9n^2-2]+3*[2^(2n+1)-3*(2n+1)+1]=
mult(9)+3*[2^(2n+1)-3*(2n+1)+1]
Y ponemos la expresión como una suma de un múltiplo de 9 más otro número que es múltiplo de 3
El problema es que sólo hemos podido sacar factor común un 3, y podemos asegurar que el segundo sumando es un múltiplo de 3, pero no un múltiplo de 9. Pero el problema se reduce ahora a demostrar que
2^(2n+1)-3*(2n+1)+1
es múltiplo de 3, pues entonces nos quedaría
mult(9)+3*mult(3)=mult(9)+mult(9)=mult(9)
Demostremos que es múltiplo de 3. Para ello ya que el sumando segundo -3*(2n+1) es múltiplo de 3, podemos quitarlo (también podíamos haber quitado el 9n^2 del principio)
Demostramos que
2^(2n+1)+1
es múltiplo de 3 aplicando nuevamente inducción
1)n=1
2^3+1=8+1=9--multiplo de 3
2) Supongo para n y demuestro para n+1
2^(2(n+1)+1)+1=
2^(2n+2+1)+1=
2^2*2^(2n+1)+1=
4*2^(2n+1)+1=
(3+1)*2^(2n+1)+1=
3*2^(2n+1)+2^(2n+1)+1=
3*2^(2n+1)+mult(3)
mult(3)+mult(3)=mult(3)
Con lo que queda probado.
Espero que te sirva y no haberte liado más, tal vez salga de una forma más directa, pero así en principio aplicando dos veces inducción se puede demostrar.
Si es así, aplicar el principio de inducción:
1º Lo demostramos para n=1
2^(2*1+1)-9*1^2+3*1-2=
2^3-9+3-2=8-9+3-2=0, que es múltiplo de 9
2º Lo sumponemos cierto para n:
2^(2n+1)-^9*n^2+3n-2-->múltiplo de 9
y lo demostramos para n+1
2^(2*(n+1)+1)-9*(n+1)^2+3*(n+1)-2
Desarrollando:
2^(2*(n+1)+1)-9*(n+1)^2+3*(n+1)-2=
2^(2n+2+1)-9*(n^2+2n+1)+3n+3-2
2^2*2^(2n+1)-9n^2-9*(2n+1)+3n+3-2
4*2^(2n+1)-9n^2-9*(2n+1)+3n+3-2
Poniendo 4=3+1 (para poder sacar un 3 factor común) y ordenando:
(3+1)*2^(2n+1)-9n^2-9*(2n+1)+3n+3-2=
3*2^(2n+1)+2^(2n+1)-9n^2-9*(2n+1)+3n+3-2=
[2^(2n+1)-9n^2-2]+3*[2^(2n+1)-3*(2n+1)+1]=
mult(9)+3*[2^(2n+1)-3*(2n+1)+1]
Y ponemos la expresión como una suma de un múltiplo de 9 más otro número que es múltiplo de 3
El problema es que sólo hemos podido sacar factor común un 3, y podemos asegurar que el segundo sumando es un múltiplo de 3, pero no un múltiplo de 9. Pero el problema se reduce ahora a demostrar que
2^(2n+1)-3*(2n+1)+1
es múltiplo de 3, pues entonces nos quedaría
mult(9)+3*mult(3)=mult(9)+mult(9)=mult(9)
Demostremos que es múltiplo de 3. Para ello ya que el sumando segundo -3*(2n+1) es múltiplo de 3, podemos quitarlo (también podíamos haber quitado el 9n^2 del principio)
Demostramos que
2^(2n+1)+1
es múltiplo de 3 aplicando nuevamente inducción
1)n=1
2^3+1=8+1=9--multiplo de 3
2) Supongo para n y demuestro para n+1
2^(2(n+1)+1)+1=
2^(2n+2+1)+1=
2^2*2^(2n+1)+1=
4*2^(2n+1)+1=
(3+1)*2^(2n+1)+1=
3*2^(2n+1)+2^(2n+1)+1=
3*2^(2n+1)+mult(3)
mult(3)+mult(3)=mult(3)
Con lo que queda probado.
Espero que te sirva y no haberte liado más, tal vez salga de una forma más directa, pero así en principio aplicando dos veces inducción se puede demostrar.
